设 $p(x)=x^6-2 x^2-x+3$ ，
（1）将 $p(x)$ 按 $(x-1)$ 的乘幂展开；
（2）将 $p(x)$ 按 $(x+1)$ 的乘幂展开；
（3）由此说明 $p(x)$ 在 $(-\infty,-1]$ 及 $[1,+\infty)$ 上无实零点．
求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 按 $(x+1)$ 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 $n$ 阶泰勒公式．
利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式求下列极限：
（1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}}{x^2[x+\ln (1-x)]}$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
试确定常数 $a$ 和 $b$ ，使 $f(x)=x-(a+b \cos x) \sin x$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时关于 $x$ 的5阶无穷小．
用泰勒公式验证：当 $0 < x \leq \frac{1}{2}$ 时，若按公式 $\mathrm{e}^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$ ，计算 $\mathrm{e}^x$ 的近似值时，所产生误差小于 0.01 ，并求 $\sqrt{\mathrm{e}}$ 的近似值，使误差小于 0.01 ．
设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，证明：对于 $(a, b)$ 内任意两点 $x_1$ 、$x_2$ 恒有 $\frac{1}{2}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right]>f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$ ．
（提示：令 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$ ，分别将 $f\left(x_1\right)$ 与 $f\left(x_2\right)$ 用 $x_0$ 处的一阶泰勒公式来表示）