对数曲线 $y=\ln x$ 上哪一点的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．
求摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t)\end{array}(a>0), t \in(0,2 \pi)\right.$ 的曲率，问 $t$ 为何值时曲率最小，并求最小曲率和该点处曲率半径．
若抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 在点 $x=0$ 处与曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 相切且有相同的曲率半径，试确定系数 $a, b, c$ 。
一飞机沿抛物线路径 $y=\frac{x^2}{10000}$（ $y$ 轴铅直向上，单位为 m ）作俯冲飞行，在坐标原点 $O$ 处飞机的速度为 $v=200(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ ，飞行员体重 $G=70(\mathrm{~kg})$ ，求飞机俯冲至最低点即原点 $O$ 处时座椅对飞行员的反力．
思考题：试求曲线 $16 y^2=x^2-2 x$ 上点 $P(2,0)$ 处曲率．