叙述拉格朗日中值定理的条件和结论 $\_\_\_\_$；
并对函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x+1}+x \quad x \in[-1,1]$ ，验证结论成立的点 $\xi=$ $\_\_\_\_$．
$f(x)=x^2\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)(x-3)$ ，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,4]$ 上零点的个数为 $\_\_\_\_$个．
函数 $f(x)$ 具有 $n$ 阶连续的导数，已知 $f^{(k)}(0)=k(k=0,1, \cdots, n)$ ，记$P_n(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$ 。要使得 $f(x)-P_n(x)$ 当 $x \rightarrow 0$ 时是 $x$ 尽可能高阶的无穷小，那么 $P_n(x)=$ $\_\_\_\_$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right]$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cdot \sqrt{\cos 2 x} \cdot \sqrt[3]{\cos 3 x}}{x^2}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+2^{\frac{1}{x}}\right)^x$ ．
讨论曲线 $y=x \sqrt{x-1}$ 的升降性与凹凸区间，并求出曲线的拐点．
求曲线 $y=\frac{x^3}{1+x^2}+\arctan \left(1+x^2\right)$ 的渐近线．
函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，且 $f(a)=f(b)=0$ ，证明：$(a, b)$ 对于任意常数 $k$ ，在区间 $(a, b)$ 上至少存在一点 $\xi$ ，满足 $f^{\prime}(\xi)=k \xi f(\xi)$ ．
（1）求函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$ 的极值；
（2）若数列 $\left\{x_n\right\}\left(x_n>0\right)$ 满足 $\ln x_n+\frac{1}{x_{n+1}} < 1$ ，证明极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并且求此极限．
求函数 $f(x)=(x+1) \ln (1+x)$ 的 $n$ 阶导数，并求出在 $x_0=1$ 点该函数 3 阶带拉格朗日余项的泰勒公式．