用导数定义证明 $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$
按照导数定义观察下列极限，假定 $f^{\prime}(x)$ 存在，指出下列各题中 $A$ 表示什么？
（1） $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=A$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ，其中 $f(0)=0$ ，且 $f^{\prime}(0)$ 存在；
（3） $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)}{h}=A$ ．
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & x \leq 1 \\ a x+b, & x>1\end{array}\right.$ 在 $x=1$ 处连续且可导，$a 、 b$ 应取什么值？
证明：双曲线 $x y=a^2$ 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 $2 a^2$ ．
如果 $f(x)$ 为偶函数，且 $f^{\prime}(0)$ 存在，证明 $f^{\prime}(0)=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=3$ ，求 $f(2)$ 及 $f^{\prime}(2)$ ．
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 求点 $x=0$ 处的 $f_{-}^{\prime}(0) 、 f_{+}^{\prime}(0)$ 及 $f^{\prime}(0)$ ：
思考题：设 $f(x)$ 可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的
条件？证明你的结论！