已知 $f(1)=1, f^{\prime}(1)=2$ ，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(f(f(x)))-f(x)}{x-1}=$
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+2}{1+\mathrm{e}^x}, & x \leq 0, \\ \frac{2}{1+\mathrm{e}^{-x}}, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $f\left(0^{-}\right)=$
$f_{-}^{\prime}(0)=$
$f\left(0^{+}\right)=$
$f_{+}^{\prime}(0)=$
$y=x \sin ^2 x$ 的 $n$ 阶导数 $y^{(n)}(x)=$ $\_\_\_\_$（ $n \geq 2$ ）．
一个（球形的）球在充气的过程中体积不断地膨胀，已知在半径 $r=2$ 米时体积的变化率为 $10 \pi\left(\mathrm{~m}^3 / \mathrm{s}\right)$ ，试求此时球体表面积的变化率．
设 $f(x)=\frac{5+x}{\sqrt{3+x^2}}$ ，说明当变量 $x \rightarrow 1$ 时，用哪一个线性函数 $a x+b$ 近似 $f(x)$ 可以得到误差比 $x-1$ 更高阶的无穷小。
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{x y}+\sin \left(x^2 y\right)=2 y$ 确定的函数，求导数 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$ ．
$y=\mathrm{e}^{\arctan 2 x}$ ．求二阶导数 $y^{\prime \prime}$ ．
函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=t \sin t+\cos t\end{array}\right.$ 确定，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} ; \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ 以及 $\frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{dx}^3}$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$ 求二阶导数 $f^{\prime \prime}(0)$ ．
设 $f(x)=\frac{x+9}{x^2-2 x-3}$ ，求导函数 $f^{(n)}(x)$ 以及 $f^{(10)}(1)$
求曲线 $2 x^2+\mathrm{e}^{x-y}=y^2+2$ 在 $(1,1)$ 点的切线方程，并求由该方程所确定函数 $y=y(x)$ 在该点的二阶导数 $y^{\prime \prime}(1)$ ．
曲线 $y=f_n(x)=\tan ^n x$ 在 $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ 点的切线在 $x$ 轴上的截距为 $x_n$ ，试计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n\left(x_n\right)$.
函数 $y=f(x)$ 具有三阶连续导数，已知 $y_0=f\left(x_0\right), f^{\prime}\left(x_0\right)=3 ; f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=2$ ；$f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)=1$ ．则在 $x_0$ 的某领域上，求出该函数的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在对应点 $y_0$ 的导数
$$
\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right|_{y=y_0} ;\left.\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} y^2}\right|_{y=y_0} \text { 以及 }\left.\frac{\mathrm{d}^3 x}{\mathrm{~d} y^3}\right|_{y=y_0} .
$$