设 $x_1=0.9, x_2=0.99, x_3=0.999, \cdots, x_n=0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n \text { 个 }}, \cdots$ ，试问：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=$ ？
（2）$n$ 取何值时，才能使 $x_n$ 与极限值之差的绝对值小于0．0001？
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=a$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_n\right|=|a|$ ，并举例说明：如果数列 $\left\{\left|u_n\right|\right\}$ 有极限，数列 $\left\{u_n\right\}$ 末必有极限．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界，又 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=0$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=0$
思考题：已知 $0 < q < 1, \lim _{n \rightarrow \infty} q^{\frac{1}{n}}=1$ ，那么，当 $q>1$ 时 $\lim _{n \rightarrow \infty} q^{\frac{1}{n}}=$ ？进一步， $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}}=$ ？试用极限定义证明之？