根据函数极限定义证明：函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等．
如果函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时极限为 $A$ ，证明 $\lim _{x \rightarrow \infty}|f(x)|=|A|$ ，并举例说明：如果当$x \rightarrow \infty$ 时 $|f(x)|$ 有极限，$f(x)$ 未必有极限．
（1）设 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ ，证明存在正数 $X$ ，使得 $f(x)$ 在 $(-\infty,-X) \cup(X,+\infty)$ 有界．
（2）当 $x \rightarrow+\infty$ 时，函数 $\sin \sqrt{x}$ 是否有极限？试说明理由．
思考题：讨论一下 Dirichlet 函数 $D(x)=\left\{\begin{array}{lc}1, & x \in \mathrm{Q} \\ 0, & x \in \mathrm{Q}^c\end{array}\right.$ 在任意点的单侧极限是否存在？