根据定义证明：当 $x \rightarrow 0$ 时，$y=x \sin \frac{1}{x}$ 为无穷小．
根据定义证明：当 $x \rightarrow 0$ 时，$y=\frac{1+2 x}{x}$ 为无穷大，并问 $x$ 应满足什么条件，能使$|y|>10^4 ?$
求函数 $f(x)=\frac{4}{2-x^2}$ 的图形的渐近线．
当 $x \rightarrow x_0$ 时，$f(x)$ 是无穷大，是指对任何收敛于点 $x_0$ 的数列 $\left\{x_n\right\}$ ，都有$\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\infty ; f(x)$ 在 $x_0$ 的任一去心邻域是无界量，是指至少存在一个收敛于点 $x_0$ 的数列 $\left\{x_n\right\}$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\infty$ ，所以无穷大是无界量，而无界量末必是无穷大。由此分析$f(x)=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时是一个无界量而非无穷大。
思考题：下列关于无穷小量的定义正确吗？为什么？
（1）对 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，成立 $x_n < \varepsilon$ ；
（2）对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在无穷多个 $x_n$ ，使 $\left|x_n\right| < \varepsilon$ ．