讨论极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}}(a>0)$ ．
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x+c}{2 x-c}\right)^{x+1}=2$ ，求常数 $c$ 的值．
（1） $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\cos \sqrt{x^4+x}-\cos \sqrt{x^4-x}\right)$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos a x}{\ln \cos b x}$ ；
（3） $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^2 x\right)^{\cot ^2 x}$ ；
（4） $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-2 x}\right)^{b x}$ ；
（5） $\lim _{x \rightarrow b} \frac{a^x-a^b}{x-b}(a>0, a \neq 1)$ ．
设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 都在点 $x_0$ 处连续，证明：函数 $\varphi(x)=\max \{f(x), g(x)\}$ ， $\psi(x)=\min \{f(x), g(x)\}$ 也都在点 $x_0$ 处连续。
设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，且 $f(x) \neq 0, \phi(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义，且有间断点，则下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例．
（1）$\phi[f(x)]$ 必有间断点；
（2）$[\phi(x)]^2$ 必有间断点；
（3）$f[\phi(x)]$ 未必有间断点；
（4）$\frac{\phi(x)}{f(x)}$ 必有间断点．
思考题：设函数 $f(x)$ 对任何实数有意义，且对任何实数 $x, y$ 有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ，试证明：若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内处处连续．