证明方程 $x^5-3 x=1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间．
证明方程 $x=a \sin x+b$ ，其中 $a>0, b>0$ ，至少有一个正根，并且它不超过 $a+b$
设函数 $f(x)$ 对于闭区间 $[a, b]$ 上的任意两点 $x 、 y$ 恒有 $|f(x)-f(y)| \leq l|x-y|$ ，其中$l$ 为常数，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$ ，证明：至少有一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $0 \leq f(x) \leq 1$ ，试证：至少存在一点 $c, c \in[0,1]$ ，使$f(c)=c$ ．
设常数 $\alpha_1 、 \alpha_2 、 \alpha_3>0$ ，证明当 $a < b < c$ 时，方程 $\frac{\alpha_1}{x-a}+\frac{\alpha_2}{x-b}+\frac{\alpha_3}{x-c}=0$ 有且仅有两个不同的实根．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 内连续，$x_1, x_2 \in(a, b), x_1 < x_2$ ，若 $\mu_1, \mu_2 \in \mathrm{R}^{+}$，证明在 $\left[x_1, x_2\right]$上至少存在一点 $\xi$ ，使得 $\mu_1 f\left(x_1\right)+\mu_2 f\left(x_2\right)=\left(\mu_1+\mu_2\right) f(\xi)$（提示：用介值定理）
证明：若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界
思考题：设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=f(1)$ ．求证：
（1）存在 $\eta \in[0,1]$ ，使 $f(\eta)=f\left(\eta+\frac{1}{2}\right)$ ；
（2）对任何正整数 $n$ ，存在 $\eta \in[0,1]$ ，使 $f(\eta)=f\left(\eta+\frac{1}{n}\right)$ ．