第1讲函数与极限测验卷

发布日期 2026/8/12 16:26:44 查看 6 加入组卷查看作者

单选题

若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上恰好有三个间断点 $x_1 < x_2 < x_3, g(x)$ 是在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增的连续函数，则复合函数 $f[g(x)]$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上

$\text{A.}$ 恰好有3个间断点 $\text{B.}$ 多于 3 个间断点但是不会有无穷个间断点 $\text{C.}$ 至多有 3 个间断点 $\text{D.}$ 可以有无穷多个个间断点

已知 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ ，如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) g(x)=\infty$ ，则 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某一邻域内

$\text{A.}$ 必然有界 $\text{B.}$ 必然无界 $\text{C.}$ 连续 $\text{D.}$ 以上选项都不对

设数列 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \quad(n=1,2, \cdots)$ ，如果数列 $\left\{S_n\right\}$ 有极限，数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛的情况是什么

$\text{A.}$ 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 可以不存在 $\text{B.}$ 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在，并且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ $\text{C.}$ 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n$ $\text{D.}$ 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在，并且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 可以是不同的实数

解答题

叙述极限 $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=+\infty$ 的数学定义

极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{2 n^2+n+1}-\sqrt{2 n^2-n+2}\right)=$

在底面半径为 $R$ 高为 $H$ 的圆锥内内接一个圆柱体，若该园柱体的底半径为 $r$ ，试求出该园柱体的体积．

（1）叙述当 $x \rightarrow x_0$ 时函数极限运算中无穷小的等价代换方法；
（2）分析是否可以类似地推广成无穷大的等价代换方法，并对所得的判断加以说明．

求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+2)^\alpha-(n-1)^\alpha\right]$ ．

设 $0 < a < b$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a^{-n}+b^{-n}\right)^{\frac{1}{n}} a$ 。

求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x-b)}\right]^x$ ．

求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}-1}$ ．

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1}, & x>0, \\ b, & x=0, \text { 在 } x=0 \text { 点连续，求常数 } a, b \text { ．} \\ \left(\frac{1-x}{1+2 x}\right)^{\frac{a}{x}}, & x < 0\end{array}\right.$ ．

计算极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x-x^a}{x^2-a^2}$ ．

证明题

若 $x_n \geq 0$ 是无界数列，证明：可以找到单调递增的子数列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ 使得 $x_{n_k}>k$ ．

第1讲 函数与极限测验卷

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