空间中的夹角和距离

发布日期 2026/8/12 14:51:11 查看 2 加入组卷查看作者

单选题

在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$E$ 是 $C_1 D_1$ 的中点，则异面直线 $D E$ 与 $A C$ 所成角的余弦值是

$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ $\text{D.}$ $\frac{\sqrt{10}}{10}$

如图，$\alpha \perp \beta, \alpha \mathrm{I} \beta=l, A \in \alpha, B \in \beta$ ，点 $A, B$ 在棱 $l$ 上的射影分别是 $A_1, B_1$ ，若 $A A_1=B B_1=2, A B=4$ ，则异面直线 $A B_1$ 与 $A_1 B$ 所成角的余弦值为

$\text{A.}$ $\frac{4}{5}$ $\text{B.}$ $\frac{3}{5}$ $\text{C.}$ $\frac{2}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{3}$

在正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中，二面角 $D^{\prime}-A B-D$ 的大小是

$\text{A.}$ 90° $\text{B.}$ 60° $\text{C.}$ $45^{\circ}$ $\text{D.}$ $30^{\circ}$

已知矩形 $A B C D$ 中，$A B=2, B C=1$ ，折叠使点 $A, C$ 重合，折痕为 $M N$ ，打开平面 $A D M N$ ，使二面角 $A-M N-C$的大小为 $\frac{\pi}{3}$ ，则直线 $M N$ 与直线 $A C$ 的距离为

$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$ $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

已知在大小为 $\frac{\pi}{3}$ 的二面角 $\alpha-l-\beta$ 中，$A \in \alpha, B \in \beta, A C \perp l$ 于点 $C, B D \perp l$ 于点 $D$ ，且 $C D=D B=2 A C=2$ ，则直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦为

$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{11}}{11}$ $\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ $\text{C.}$ $\frac{\sqrt{21}}{7}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{2}$

填空题

如图，在三棱锥 $D-A B C$ 中，$A C=\sqrt{3} B D$ ，且 $A C \perp B D, E, F$ 分别是棱 $D C, A B$ 的中点，则 $E F$ 和 $A C$所成的角等于 $\_\_\_\_$．

解答题

如图，在三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A B \perp A C$ ，平面 $A B C \perp$ 平面 $B C C_1 B_1$ ，且 $B_1 C \perp A B$ ，点 $D$ 为棱 $A_1 B_1$ 的中点．
（1）求证：直线 $B_1 C \perp$ 平面 $A B C$ ；
（2）若 $A B=1, A C=\sqrt{3}, B B_1=3$ ，求直线 $C D$ 与平面 $A B B_1 A_1$ 所成角的正弦值．

在三棱锥 $P-A B C$ 中，面 $P A C \perp$ 面 $A B C, A P \perp P C, P C=2 B C=2, \angle A C P=\angle A C B=45^{\circ}$ ．
（1）求证：$B C \perp B P$ ；
（2）求二面角 $A-P C-B$ 的余弦值．

已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $3, E, F$ 分别为棱 $B C, C D$ 上的动点，$C F: D F=C E: E B$ ．若直线$C C_1$ 与平面 $E F C_1$ 所成角为 $\frac{\pi}{6}$ ．
（1）求二面角 $C_1-E F-C$ 的平面角的大小．
（2）求线段 $E F$ 的长度．
（3）求二面角 $C_1-B D-A_1$ 平面角的余弦值．

如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为正方形，$A B=A P=1, A P \perp$ 底面 $A B C D, E, F$ 分别是线段 $P B, P D$ 的中点，$G$ 是线段 $P C$ 上靠近 $C$ 的一个三等分点。
（1）证明：直线 $B D / /$ 面 $A E F$ ；
（2）求直线 $B G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值；
（3）求三棱锥 $C-E F G$ 体积．

如图，在三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A A_1 \perp$ 平面 $A B C, D, E$ 分别为 $A C, A_1 C_1$ 的中点，$A B=B C=\sqrt{5}, A C=A A_1=2$ ．
（1）求证：$A C \perp$ 平面 $B D E$ ；
（2）求点 $D$ 到平面 $A B E$ 的距离．