设 $f^{\prime}(\ln x)=1+x$ ，则 $f(x)=$
$\int x^3 \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{~d} x=$
$\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \mathrm{~d} x=$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{(2-x) \sqrt{1-x}}=$
$\int_{-\pi}^\pi\left(\sin ^3 x+\sqrt{\pi^2-x^2}\right) \mathrm{d} x=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) \mathrm{d} x=$
设 $\int_0^a x \mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4}$ ，则 $a=$
$\int_0^2 x \sqrt{2 x-x^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_1^2 \frac{1}{x^3} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^\pi t \sin t \mathrm{~d} t=$
$\int_5^{+\infty} \frac{1}{x^2-4 x+3} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x=$
$\int_0^1 \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(2-x^2\right) \sqrt{1-x^2}}=$
$ \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^2-1}}=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^2+1\right)}=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x=$
设 $D$ 是由曲线 $x y+1=0$ 与直线 $y+x=0$ 及 $y=2$ 围成的有界区域，则 $D$ 的面积为
设封闭曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\cos 3 \theta\left(-\frac{\pi}{6} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$ ，则 $L$ 所围成平面图形的面积是
由曲线 $y=\frac{4}{x}$ 和直线 $y=x$ 及 $y=4 x$ 在第一象限中围成的平面图形的面积为
曲线 $y=\sqrt{x^2-1}$ ，直线 $x=2$ 及 $x$ 轴所围的平面图形绕 $x$ 轴旋转所成的旋转体的体积为
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x}{2} \leqslant y \leqslant \frac{1}{1+x^2}\right., 0 \leqslant x \leqslant 1\right\}$ ，则 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所成旋转体体积为
曲线 $y=\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $s=$
设函数 $y=\ln \cos x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$ 的弧长为
一根长为 1 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上，若其线密度 $\rho(x)=-x^2+$ $2 x+1$ ，则该细棒的质心坐标 $\bar{x}=$