一元函数积分学

发布日期 2026/8/11 16:16:28 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

若 $f(x)$ 的导函数是 $\sin x$ ，则 $f(x)$ 有一个原函数为

$\text{A.}$ $1+\sin x$ ． $\text{B.}$ $1-\sin x$ ． $\text{C.}$ $1+\cos x$ ． $\text{D.}$ $1-\cos x$ ．

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $\mathrm{d}\left[\int f(x) \mathrm{d} x\right]$ 等于

$\text{A.}$ $f(x)$ ． $\text{B.}$ $f(x) \mathrm{d} x$ ． $\text{C.}$ $f(x)+C$ ． $\text{D.}$ $f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ．

在下列等式中，正确的结果是

$\text{A.}$ $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)$ ． $\text{B.}$ $\int \mathrm{d} f(x)=f(x)$ ． $\text{C.}$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x=f(x)$ ． $\text{D.}$ $\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{d} x=f(x)$ ．

设 $f(x)$ 是连续函数，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则

$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时，$F(x)$ 必是偶函数． $\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时，$F(x)$ 必是奇函数． $\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是周期函数时，$F(x)$ 必是周期函数． $\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时，$F(x)$ 必是单调增函数。

设奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，则

$\text{A.}$ $\int_0^t\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数． $\text{B.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数． $\text{C.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数． $\text{D.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数．

$\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1+\frac{2}{n}\right)^2 \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^2}$ 等于

$\text{A.}$ $\int_1^2 \ln ^2 x \mathrm{~d} x$ ． $\text{B.}$ $2 \int_1^2 \ln x \mathrm{~d} x$ ． $\text{C.}$ $2 \int_1^2 \ln (1+x) \mathrm{d} x$ ． $\text{D.}$ $\int_1^2 \ln ^2(1+x) \mathrm{d} x$ 。

设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则

$\text{A.}$ $M>N>K$ ． $\text{B.}$ $M>K>N$ ． $\text{C.}$ $K>M>N$ ． $\text{D.}$ $K>N>M$ ．

设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x, J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \mathrm{d} x, K=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \mathrm{d} x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系是

$\text{A.}$ $I < J < K$ ． $\text{B.}$ $I < K < J$ ． $\text{C.}$ $J < I < K$ ． $\text{D.}$ $K < J < I$ ．

设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} \mathrm{e}^{\mathrm{s} \mathrm{n} t} \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F(x)$

$\text{A.}$ 为正常数。 $\text{B.}$ 为负常数． $\text{C.}$ 恒为零。 $\text{D.}$ 不为常数．

把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量 $\alpha=\int_0^x \cos t^2 \mathrm{~d} t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 \mathrm{~d} t$ 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$ ． $\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$ ． $\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$ ． $\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$ ．

设 $f(x)$ 连续，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$

$\text{A.}$ $x f\left(x^2\right)$ ． $\text{B.}$ $-x f\left(x^2\right)$ ． $\text{C.}$ $2 x f\left(x^2\right)$ ． $\text{D.}$ $-2 x f\left(x^2\right)$ ．

下列反常积分中收敛的是

$\text{A.}$ $\int_2^{4 x} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ． $\text{B.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$ 。 $\text{C.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ． $\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x$ ．

曲线 $y=x(x-1)(2-x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积可表示为

$\text{A.}$ $-\int_0^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ． $\text{B.}$ $\int_0^1 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x-\int_1^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ． $\text{C.}$ $-\int_0^1 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x+\int_1^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ． $\text{D.}$ $\int_0^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ．

双纽线 $\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2$ 所围成的区域面积可用定积分表示为

$\text{A.}$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta \mathrm{~d} \theta$ ． $\text{B.}$ $4 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta \mathrm{~d} \theta$ ． $\text{C.}$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos 2 \theta} \mathrm{~d} \theta$ ． $\text{D.}$ $\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos 2 \theta)^2 \mathrm{~d} \theta$ ．

曲线 $y=\cos x\left(-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为

$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$ ． $\text{B.}$ $\pi$ ． $\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{2}$ ． $\text{D.}$ $\pi^2$ ．

填空题

$\int \frac{x+5}{x^2-6 x+13} \mathrm{~d} x=$

$\int \frac{\ln (\sin x)}{\sin ^2 x} \mathrm{~d} x=$

$\int \frac{\ln x-1}{x^2} \mathrm{~d} x=$

$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(4-x)}}=$