直线与平面的平行和垂直

发布日期 2026/8/11 13:46:12 查看 2 加入组卷查看作者

单选题

已知两个平面 $\alpha, \beta$ ，及两条直线 $l, m$ ．则下列命题错误的是

$\text{A.}$ 若 $\alpha \perp \beta, l \subset \beta, \alpha \mathrm{I} \beta=m, l \perp m$ ，则 $l \perp \alpha$ $\text{B.}$ 若 $l \perp \beta, \alpha / / \beta, m \subset \alpha$ ，则 $l \perp m$ $\text{C.}$ 若 $l \subset \alpha, m \subset \alpha, m / / \beta, l / / \beta$ ，则 $\alpha / / \beta$ $\text{D.}$ 若 $l, m$ 是异面直线，$l \subset \alpha, l / / \beta, m \subset \beta, m / / \alpha$ ，则 $\alpha / / \beta$

多选题

已知 $m, n, l$ 为空间中三条不同的直线，$\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有

$\text{A.}$ 若 $m \perp l, n \perp l$ ，则 $m / / n$ $\text{B.}$ 已知 $\alpha \mathrm{I} \beta=l, \beta \mathrm{I} \gamma=m, \gamma \mathrm{I} \alpha=n$ ，若 $l \mathrm{I} m=P$ ，则 $P \in n$ $\text{C.}$ 若 $m \perp \alpha, m \perp \beta, \alpha / / \gamma$ ，则 $\beta / / \gamma$ $\text{D.}$ 若 $\alpha \perp \beta, \gamma \perp \alpha, \delta \perp \beta$ ，则 $\gamma \perp \delta$

填空题

已知直线 $M N \perp$ 平面 $\alpha$ 于 $N$ ，直线 $N P \perp M N$ ，则 $N P$ 与平面 $\alpha$ 的关系是

已知平面 $\alpha / / \beta / / \gamma$ ，两条直线 $l 、 m$ 分别与平面 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 相交于点 $A 、 B 、 C$ 与 $D 、 E 、 F$ ．已知 $A B=6, \frac{D E}{D F}=\frac{2}{5}$ ，
则 $A C=$ $\_\_\_\_$

解答题

如图，线段 $A A_1$ 是圆柱 $O O_1$ 的母线，$B C$ 是圆柱下底面 $ O$ 的直径．

若 $D$ 是弦 $A B$ 的中点，且 $\overrightarrow{A E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A A_1}$ ，求证：$D E / /$ 平面 $A_1 B C$ ；

在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为矩形，$E$ 为棱 $A B$ 的中点，$D E$ 与 $A C$ 交于点 $F, G$为 $\Delta_{\mathrm{PBC}}$ 的重心。
求证：$F G / /$ 平面 $P A B$ ；

如图所示多面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A D E \perp$ 平面 $A B C D, C F \perp$ 平面 $A B C D, A D E$ 是正三角形，四边形 $A B C D$是菱形，$A B=2, C F=\sqrt{3}, \angle B A D=\frac{\pi}{3}$ ．
求证：$E F //$ 平面 $A B C D$ ；

如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形，$E, F, G$ 分别是棱 $B C, A D$ ，$P A$ 的中点．

证明：$P E / /$ 平面 $B F G$ ；

如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为 $2 \sqrt{17}$ ．点 $G, E, F, H$ 分别是棱$P B, A B, C D, P C$ 上共面的四点，平面 $G E F H \perp$ 平面 $A B C D, B C / /$ 平面 $G E F H$ ．证明：$G H / / E F$ ．

如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，$\angle A D C=120^{\circ}, E D \perp$ 平面 $A B C D, F B / / E D, A B=E D$ ，设 $F B=\lambda E D(0 < \lambda < 1)$ ，连接 $A C, B D$ 交于点 $M$ ，连接 $E M, F M$ ．

试问是否存在实数 $\lambda$ ，使得 $E M \perp$ 平面 $A F C$ ？若存在，请求出 $\lambda$ 的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由．

如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $A D / / B C, A D=3, A B=B C=2, P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A=3$ ．点 $M$ 在棱 $P D$ 上，点 $N$ 为 $B C$ 中点．
证明：若 $D M=2 M P$ ，则直线 $M N / /$ 平面 $P A B$ ；

证明题

如图，三棱锥 $P-A B C$ 中，底面 $A B C$ 与侧面 $A B P$ 是全等三角形，侧面 $P B C$ 是正三角形，$A B=3, B C=4$ ， $A C=5, D, E, F, G$ 分别是所在棱的中点，平面 $A D E$ 与平面 $C F G$ 相交于直线 $M N$ ．
求证：$M N / / P B$ ；

如图所示，在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A C \perp B C, A C=B C=C C_1=2$ ，点 $D 、 E$ 分别为棱 $A_1 C_1 、 B_1 C_1$ 的中点，点 $F$ 是线段 $B B_1$ 上的点（不包括两个端点）．

设平面 $D E F$ 与平面 $A B C$ 相交于直线 $m$ ，求证：$A_1 B_1 / / m$ ；

如图，已知四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为菱形，$\angle A B C=60^{\circ}, A B=P C=2, P A=P B=\sqrt{2}, M$ 为 $P D$ 的中点，$R$ 为 $P B$ 的中点，平面 $\alpha$ 过 $M 、 C 、 R$ 三点且与面 $P A C$ 交于直线 $l, l$ 交 $P A$ 于点 $Q$ ．
求证：面 $P A B \perp$ 面 $A B C D$ ；

如图，在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A B=2$ ，侧面 $A B B_1 A_1$ 是正方形，且平面 $A_1 B C \perp$ 平面 $A B B_1 A_1$ ．
求证：$A B \perp B C$ ；

如图，四边形 $A B C D$ 是圆柱底面的内接四边形，$A C$ 是圆柱的底面直径，$P C$ 是圆柱的母线，$E$ 是 $A C$ 与 $B D$的交点，$A B=A D, \angle B A D=60^{\circ}$ ．
证明 $B D \perp C F$ 。