空间几何体的表面积与体积

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空间几何体的表面积与体积

发布日期 2026/8/10 20:24:52 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，点 $M$ 为线段 $D_1 B_1$ 上的动点，点 $N$ 为线段 $A C$ 上的动点，则与线段 $D B_1$ 相交且互相平分的线段 $M N$ 有

$\text{A.}$ 0条 $\text{B.}$ 1条 $\text{C.}$ 2条 $\text{D.}$ 3条

某广场设置了一些石発供大家休息，如图，每个石発都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是

$\text{A.}$ 该几何体的面是等边三角形或正方形 $\text{B.}$ 该几何体恰有12个面 $\text{C.}$ 该几何体恰有24条棱 $\text{D.}$ 该几何体恰有12个顶点

祖桓是我国古代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：＂幂势既同，则积不容异＂．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理。这个原理经过研究推广，有着许多的推论，其中有一个推论为夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积比总为 $m: n$ ，那么这两个几何体的体积之比也为$m: n$ 。现已知几何体 A 与几何体 $B$ 是两个等高的几何体，且在同高处被平行于底面的平面截得的截面面积之比都为2 ：1，若几何体 $B$ 是一个母线长为 $\sqrt{5}$ ，上底面半径为1，下底面半径为2的圆台，则几何体A的体积为

$\text{A.}$ $\frac{14 \pi}{3}$ $\text{B.}$ $\frac{16 \pi}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{28 \pi}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{32 \pi}{3}$

将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为

$\text{A.}$ $\frac{\pi}{12}$ $\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{8 \pi}{27}$ $\text{D.}$ $\frac{2 \pi}{9}$

用一个平面去截正方体，所得截面可能是

$\text{A.}$ 直角三角形 $\text{B.}$ 直角梯形 $\text{C.}$ 正五边形 $\text{D.}$ 正六边形

如下图所示，在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，如果点 $E$ 是 $A A_1$ 的中点，那么过点 $D_1 、 B 、 E$的截面图形为

$\text{A.}$ 三角形 $\text{B.}$ 矩形 $\text{C.}$ 正方形 $\text{D.}$ 菱形

若将一块体积为 $\frac{4 \pi}{3}$ 的橡皮泥捏成一个圆锥，则圆锥的侧面积最小为

$\text{A.}$ $2 \sqrt{3} \pi$ $\text{B.}$ $2 \sqrt{5} \pi$ $\text{C.}$ $4 \pi$ $\text{D.}$ $\sqrt{17} \pi$

已知一个圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，在其中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为

$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ $\text{B.}$ $\sqrt{2}$ $\text{C.}$ $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

多选题

如图所示，$\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 是水平放置的 $\mathrm{V} A B C$ 的斜二测直观图，其中 $O^{\prime} C^{\prime}=O^{\prime} A^{\prime}=2 O^{\prime} B^{\prime}=2$ ，则以下说法正确的是

$\text{A.}$ $\triangle A B C$ 是针角三角形 $\text{B.}$ $\triangle A B C$ 的面积是 $V A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的面积的2倍 $\text{C.}$ $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形 $\text{D.}$ $\triangle A B C$ 的周长是 $4+4 \sqrt{2}$

用一张长为 12 cm 、宽为 8 cm 的矩形铁皮围成圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为

$\text{A.}$ $\frac{96}{\pi} \mathrm{~cm}^3$ $\text{B.}$ $\frac{144}{\pi} \mathrm{~cm}^3$ $\text{C.}$ $\frac{192}{\pi} \mathrm{~cm}^3$ $\text{D.}$ $\frac{288}{\pi} \mathrm{~cm}^3$

在正四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，上、下底面分别是边长为 $\sqrt{2}$ 和 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长为 2 ，其顶点在同一个球面上，则下列结论正确的是

$\text{A.}$ 四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的表面积 $\mathrm{S}=6 \sqrt{7}$ $\text{B.}$ 四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的体积 $V=\frac{14 \sqrt{3}}{3}$ $\text{C.}$ 四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的体积 $V=\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ $\text{D.}$ 四棱台 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的外接球的表面积 $S=16 \pi$

填空题

陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，$A, B$ 分别为圆柱上、下底面圆的圆心，$P$ 为圆锥的顶点，若底面圆的半径为 $\sqrt{2}, P A=\sqrt{2}, A B=2$ ，则圆柱的外接球的表面积与圆锥的侧面积的比值是

宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首。如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示。已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3：4，则该汝窑双耳罐的侧面积是 $\_\_\_\_$平方厘米．

在一次手工劳动课上，需要把一个高为 3，体积为 $\pi$ 的木质实心圆锥模型削成一个实心球模型，则球的表面积的最大值为

如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A=P B=P C=8, \angle A P B=\angle A P C=\angle B P C=40^{\circ}$ ，过点 $A$ 作截面，分别交侧棱 $P B, P C$ 于 $E, F$ 两点，则 $\triangle A E F$ 周长的最小值为

如图，在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A B=1, B C=2, A C=\sqrt{5}, A A_1=3, M$ 为线段 $B B_1$ 上的一动点，则过 $A, M, C_1$ 三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 $\_\_\_\_$。

解答题

如图，某组合体是由正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 与正四棱锥 $P-A_1 B_1 C_1 D_1$ 组成，已知 $A B=6$ ，且 $P A_1=\frac{\sqrt{3}}{2} A B$ ．
（1）求该组合体的体积；
（2）求该组合体的表面积．

如图，正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的棱长为 $a$ ，将它沿相邻三个面的对角线截出一个三棱锥$B^{\prime}-A^{\prime} B C^{\prime}$ ，求剩下的几何体的体积。