设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \arctan \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 试讨论 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性．
确定常数 $a$ 和 $b$ ，使函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a x+b, & x>1, \\ x^2, & x \leqslant 1\end{array}\right.$ 处处可导．
．设 $y=f(x+y)$ ，其中 $f$ 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1 ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ 。
设 $y=\sin \left[f\left(x^2\right)\right]$ ，其中 $f$ 具有二阶导数，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ ．
设 $\left\{\begin{array}{l}x=5(t-\sin t), \\ y=5(1-\cos t),\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，证明：
（I）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（II）存在 $\eta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta) < -2$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty]$ 上可导，且 $f(0)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=2$ ，证明：
（I）存在 $a>0$ ，使得 $f(a)=1$ ；
（ II ）对（ I ）中的 $a$ ，存在 $\xi \in(0, a)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{1}{a}$
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：
（I）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)=1-\xi$ ；
（II）存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ 。
已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$ 确定，求 $y(x)$ 的极值．
已知函数 $y=\frac{x^3}{(x-1)^2}$ ，求
（I）函数的增减区间及极值；
（II）函数图形的凹凸区间及拐点；
（III）函数图形的渐近线。
证明：当 $0 < a < b < \pi$ 时，$b \sin b+2 \cos b+\pi b>a \sin a+2 \cos a+\pi a$ ．
证明：方程 $x+p+q \cos x=0(0 < q < 1)$ 恰有一个实根．
设某商品的最大需求量为 1200 件，该商品的需求函数 $Q=Q(p)$ ，需求弹性 $\eta=\frac{p}{120-p}(\eta>0), p$ 为单价（万元）。
（I）求需求函数的表达式；
（II）求 $p=100$ 万元时的边际收益，并说明其经济意义．