上海交通大学第一学期期中考试

发布日期 2026/8/9 21:03:38 查看 4 加入组卷查看作者

单选题

若 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的非周期函数，则。

$\text{A.}$ $\forall T \in \mathbf{R} \backslash\{0\}, \forall x \in \mathbf{R}, f(x+T) \neq f(x)$ ； $\text{B.}$ $\forall T \in \mathbf{R} \backslash\{0\}, \exists x \in \mathbf{R}, f(x+T) \neq f(x)$ ； $\text{C.}$ $\forall x \in \mathbf{R}, \exists T \in \mathbf{R} \backslash\{0\}, f(x+T) \neq f(x)$ ； $\text{D.}$ $\exists x \in \mathbf{R}, \forall T \in \mathbf{R} \backslash\{0\}, f(x+T) \neq f(x)$ ．

当 $x \rightarrow 0$ 时，与 $(1+4 x) \sqrt{1+2 x}-1$ 等价的无穷小是．

$\text{A.}$ $x$ ； $\text{B.}$ $2 x$ ； $\text{C.}$ $4 x$ ； $\text{D.}$ $5 x$ ．

已知 $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \operatorname{sgn} x$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的。

$\text{A.}$ 无穷间断点； $\text{B.}$ 跳跃间断点； $\text{C.}$ 可去间断点； $\text{D.}$ 连续点．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n>0(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ，则。

$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=1$ ； $\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n\left(1+a_i\right)=1$ ； $\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n a_{n+1}}{a_n+a_{n+1}}=0$ ； $\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n^{a_n}=0$ ．

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $U\left(x_0, \delta\right)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=1$ ．关于下列两个结论：
（1）当 $g(x)$ 在 $\stackrel{\circ}{U}\left(x_0, \delta\right)$ 内非零时，$f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right) \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$ ；
（2）当 $x_0=0$ 且 $g(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2 \sin \frac{1}{x}+2 x, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 时，$f^{\prime}(0)=2$ ．
正确的选项是。

$\text{A.}$ 仅（1）正确； $\text{B.}$ 仅（2）正确； $\text{C.}$ （1）（2）都正确； $\text{D.}$ ①②都错误。

填空题

设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1+x^2, & x \leqslant 0 \\ -x, & x>0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{rc}-x, & x \leqslant 0 \\ 2+x, & x>0\end{array}\right.\right.$ ，则 $g(f(x))=$

若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln \left(1+x^2\right), & x \leqslant 0 \\ a \sin x+2 x, & x>0\end{array}\right.$ 是可导函数，则 $a=$

若曲线 $C: y=f(x)$ 由方程 $2 x-y=2 \arctan (y-x)$ 决定，则曲线 $C$ 在$\left(1+\frac{\pi}{2}, 2+\frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线方程是 $y=$

已知 $y=(x+2)^{\sin x}$ ，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}=$

若 $f(x)=x^3+a x^2+2 x+1$ 存在反函数，则常数 $a$ 的取值范围为

解答题

已知 $a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{a_n^2}{2}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ ．

已知 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t-t^2 \\ y=3 t-t^3\end{array}\right.$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}$ ．

求函数 $f(x)=\frac{1}{2-x} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ 的极值．

全面讨论函数 $y=\frac{(1+x)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$ 的性态，并作出它的图形．

$$
\left[y^{\prime}=\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}(1+x)^{\frac{1}{2}}(2 x-1), y^{\prime \prime}=\frac{3}{4} x^{-\frac{3}{2}}(1+x)^{-\frac{1}{2}}\right]
$$

已知 $y=\left(x^2+x\right) \mathrm{e}^x$ ，求 $y^{(k)}(0)$ ，并求 $\sum_{k=0}^n C_n^k k^2 2^{n-k}, n \in \mathbf{Z}^{+}$．

证明题

用极限定义证明： $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{1+x}-\sin x\right)=1$ ．

求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^2\right)(1-\cos 2 x)-2 x^2}{x^4}$ ．

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内二阶可导，且 $f(0)=f(1)=0$ ， $f^{\prime \prime}(x) < 0(x \in(0,1)), M=\max _{0 \leqslant x \leqslant 1} f(x)>0$ ．
（1）证明：对任意 $n \in \mathbf{Z}^{+}$，存在唯一的 $x_n \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}\left(x_n\right)=\frac{M}{n}$ ；
（2）对（1）中得到的 $\left\{x_n\right\}$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=M$ ．