等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 2 ，且 $a_2, a_3+2, a_4$ 成等差数列．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=\log _2\left(a_n \cdot a_{n+1}\right)+a_n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_n=3 b_n+(n+1)^3-n^3, b_{n+1}=4 b_n, a_1=19$ ．
（1）求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，已知 $S_n+1=2 a_n\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\left\{\begin{array}{c}a_n, n=2 k-1 \\ n, n=2 k\end{array}\right.$ 且 $k \in \mathrm{~N}^*$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ．
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_8=3 S_5-11, a_{2 n}=2 a_n+1\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=\frac{a_n}{3^{n-1}}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, \frac{a_n}{a_{n+1}}=1+2 a_n$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $c_n=4 n^2 a_n a_{n+1}$ ，求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=1, a_2=2$ ，当 $n \geq 2$ 时，$a_{n+1}+a_{n-1}=2\left(a_n+n\right)$ ，记 $b_n=a_{n+1}-a_n$ ．
（1）求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设数列 $\left\{\frac{1}{b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：$S_n < \frac{29}{18}$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，当 $n \geq 2$ 时，$S_n\left(S_n-a_n+1\right)=S_{n-1}$ ．
（1）证明：数列 $\left\{\frac{1}{S_n}\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $a_1=\frac{1}{2}$ ，数列 $\left\{\frac{2^n}{S_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，若 $m T_n \leqslant\left(n^2+16\right) \cdot 2^{n+1}$ 恒成立，求正整数 $m$ 的最大值．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=1$ ，满足 $a_{n+1}=2 a_n+2 n-1\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ，设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）证明：数列 $\left\{a_n+2 n+1\right\}$ 是等比数列；
（2）若不等式 $\lambda \cdot 2^n+S_n+4>0$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．