科数网-一元函数微分学

设函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^x-1\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}-2\right) \cdots\left(\mathrm{e}^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$

$\text{A.}$ $(-1)^{n-1}(n-1)!$ ． $\text{B.}$ $(-1)^n(n-1)!$ ． $\text{C.}$ $(-1)^{n-1} n!$ ． $\text{D.}$ $(-1)^n n!$ ．

已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$

$\text{A.}$ $-2 f^{\prime}(0)$ ． $\text{B.}$ $-f^{\prime}(0)$ ． $\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$ ． $\text{D.}$ 0 ．

设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，则下列命题错误的是

$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ ． $\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$ ． $\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在． $\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．

设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(h^2\right)}{h^2}=1$ ，则

$\text{A.}$ $f(0)=0$ 且 $f_{-}^{\prime}(0)$ 存在． $\text{B.}$ $f(0)=1$ 且 $f_{-}^{\prime}(0)$ 存在． $\text{C.}$ $f(0)=0$ 且 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在． $\text{D.}$ $f(0)=1$ 且 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在．

设 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \\ f(0), & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$f^{\prime}(0) \neq 0, f(0)=0$ ，则$x=0$ 是 $F(x)$ 的

$\text{A.}$ 连续点。 $\text{B.}$ 第一类间断点． $\text{C.}$ 第二类间断点． $\text{D.}$ 连续点或间断点不能由此确定。

设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{3} x^3, & x \leqslant 1 \\ x^2, & x>1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的

$\text{A.}$ 左、右导数都存在． $\text{B.}$ 左导数存在，但右导数不存在 $\text{C.}$ 左导数不存在，但右导数存在． $\text{D.}$ 左、右导数都不存在．

设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处

$\text{A.}$ 极限不存在。 $\text{B.}$ 极限存在但不连续． $\text{C.}$ 连续但不可导． $\text{D.}$ 可导．

设 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-a}{x-a}=b$, 则 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=$

$\text{A.}$ $b \sin a$. $\text{B.}$ $b \cos a$. $\text{C.}$ $b \sin f(a)$. $\text{D.}$ $b \cos f(a)$.

已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2$ ，则当 $n$ 为大于 2 的正整数时，$f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ 为

$\text{A.}$ $n![f(x)]^{n+1}$ ． $\text{B.}$ $n[f(x)]^{n+1}$ ． $\text{C.}$ $[f(x)]^{2 n}$ ． $\text{D.}$ $n![f(x)]^{2 n}$ ．

$f(x)=x^2 \ln (1-x)$, 当 $n \geqslant 3$ 时, $f^{(n)}(0)=$

$\text{A.}$ $-\frac{n!}{n-2}$. $\text{B.}$ $\frac{n!}{n-2}$. $\text{C.}$ $-\frac{(n-2)!}{n}$. $\text{D.}$ $\frac{(n-2)!}{n}$.

设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+2 t, \\ y=\ln (1+t)\end{array}\right.$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 在$x=3$ 处的法线与 $x$ 轴交点的横坐标是

$\text{A.}$ $\frac{1}{8} \ln 2+3$ ． $\text{B.}$ $-\frac{1}{8} \ln 2+3$ ． $\text{C.}$ $-8 \ln 2+3$ ． $\text{D.}$ $8 \ln 2+3$ ．

若曲线 $y=x^2+a x+b$ 和 $2 y=-1+x y^3$ 在点 $(1,-1)$ 处相切，其中 $a, b$ 是常数，则

$\text{A.}$ $a=0, b=-2$ ． $\text{B.}$ $a=1, b=-3$ ． $\text{C.}$ $a=-3, b=1$ ． $\text{D.}$ $a=-1, b=-1$ ．

设函数 $f(u)$ 可导，$y=f\left(x^2\right)$ ，当自变量 $x$ 在 $x=-1$ 处取得增量 $\Delta x=-0.1$ 。时，相应的函数增量 $\Delta y$ 的线性主部为 0.1 ，则 $f^{\prime}(1)=$

$\text{A.}$ -1 ． $\text{B.}$ 0.1 ． $\text{C.}$ 1 ． $\text{D.}$ 0．5．

设 $f(x)$ 可导且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分 $\mathrm{d} y$ 是

$\text{A.}$ 与 $\Delta x$ 等价的无穷小。 $\text{B.}$ 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小。 $\text{C.}$ 比 $\Delta x$ 低阶的无穷小。 $\text{D.}$ 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小．

设 $f(x)=x \sin x+\cos x$ ，下列命题中正确的是

$\text{A.}$ $f(0)$ 是极大值，$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极小值． $\text{B.}$ $f(0)$ 是极小值，$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极大值． $\text{C.}$ $f(0)$ 是极大值，$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极大值． $\text{D.}$ $f(0)$ 是极小值，$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 也是极小值。

已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x}=2$ ，则在点 $x=0$ 处 $f(x)$

$\text{A.}$ 不可导。 $\text{B.}$ 可导，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ． $\text{C.}$ 取得极大值． $\text{D.}$ 取得极小值．