科数网-等比数列

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科数网-等比数列

发布日期 2026/8/5 16:50:50 查看 8 加入组卷查看作者

单选题

设正项等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $3 S_3=8 a_2+5 a_1$ ，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比是

$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$ 或 2 $\text{C.}$ $\frac{1}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{3}$ 或 -2

已知是等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_8=2 a_3 a_5, S_6=9 S_3$ ，则 $a_1=$

$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 4

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前三项和为 $39, a_6-6 a_5+9 a_4=0$ ，则$a_5=$

$\text{A.}$ 81 $\text{B.}$ 243 $\text{C.}$ 27 $\text{D.}$ 729

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n a_{n+1}=2^{2 n-1}$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 的前 10 项和

$\text{A.}$ 1024 $\text{B.}$ 512 $\text{C.}$ 1023 $\text{D.}$ 5

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比 $q$ 为整数，且 $a_1+a_4=9, a_2 \cdot a_3=8$ ，则 $\frac{a_2+a_4+a_{10}}{a_1+a_3+a_9}=$

$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ －2 $\text{D.}$ －3

在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_2 a_3 a_4=4, a_5 a_6 a_7=16$ ，则 $a_8 a_9 a_{10}=$

$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ 8 $\text{C.}$ 32 $\text{D.}$ 64

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $\frac{S_4}{S_8}=\frac{1}{7}$ ，则 $\frac{S_{12}}{S_4}=$

$\text{A.}$ 41 $\text{B.}$ 45 $\text{C.}$ 36 $\text{D.}$ 43

设 $T_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项积，若 $a_n+2 a_{n+1}=0, n \in \mathrm{~N}^*$ 且 $a_2-a_6=30$ ，则当 $T_n$ 取得最小值时 $n=$

$\text{A.}$ 8 $\text{B.}$ 7 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ 5

已知 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_n\right\}$ 是等比数列，若 $a_2+a_4+a_6=4 \pi, b_2 b_4 b_6=3 \sqrt{3}$ ，则 $\tan \frac{a_1+a_7}{1+b_2 b_6}=$

$\text{A.}$ $-\sqrt{3}$ $\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\text{D.}$ $\sqrt{3}$

多选题

关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有

$\text{A.}$ 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2^{n+1}-2$ ，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列 $\text{B.}$ 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=a n^2+b n+c \quad\left(a, b, c\right.$ 为常数）则数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列 $\text{C.}$ 数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，$S_n$ 为前 $n$ 项和，则 $S_n, S_{2 n}-S_n, S_{3 n}-S_{2 n}, \ldots$ 仍为等比数列． $\text{D.}$ 数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列，$S_n$ 为前 $n$ 项和，则 $S_n, S_{2 n}-S_n, S_{3 n}-S_{2 n}, \ldots$ 仍为等差数列

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ ，公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则下列结论一定正确的是

$\text{A.}$ 若 $m+n=s+t,\left(m, n, s, t \in \mathrm{~N}^*\right)$ ，则 $a_m \cdot a_n=a_s \cdot a_t$ $\text{B.}$ 若 $a_m \cdot a_n=a_s \cdot a_t,\left(m, n, s, t \in \mathrm{~N}^*\right)$ ，则 $m+n=s+t$ $\text{C.}$ 当 $q>1$ 时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递增； $\text{D.}$ 若 $S_n=k q^n-1$ 且 $q \neq 1$ ，则 $k=1$

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $d \neq 0, a_1, a_4, a_6$ 成等比数列，则

$\text{A.}$ $S_{19}=0$ $\text{B.}$ $a_9=0$ $\text{C.}$ 当 $d < 0$ 时，$S_9$ 是 $S_n$ 的最大值 $\text{D.}$ 当 $d>0$ 时，$S_{10}$ 是 $S_n$ 的最小值

填空题

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且满足 $S_6=252,8 a_7=a_4$ ，则当 $n=$ $\_\_\_\_$时，$a_1 a_2 \cdots a_n$ 最大．

解答题

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=5, a_{n+1}-2 a_n=3^n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 。记 $b_n=a_n-3^n$ 。
求证：$\left\{b_n\right\}$ 是等比数列；

已知函数 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=\frac{3}{5}$ ，且满足 $a_{n+1}=\frac{3 a_n}{2 a_n+1}$ ．
求证 $\left\{\frac{1}{a_n}-1\right\}$ 为等比数列，并求 $a_n$

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n}, n \in \mathrm{~N}^*$ ．
证明 $\left\{\frac{a_n-2}{a_n+1}\right\}$ 是等比数列；

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比 $q=\frac{1}{3}$ ，且 $a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{99}=60$ ，则 $a_1+a_2+a_3+a_4 \cdots+a_{100}=$

在数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 中，$b_1=2 a_1=2, b_3+b_4=24, a_{n+1}=a_n+b_n+\frac{1}{n^2+n}$ 且 $\left\{b_n\right\}$ 为正项等比数列．求 $b_n$ 的通项公式；

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 满足：$a_1=-1, b_1=1, a_n+b_n=2 a_{n+1}, a_{n+1}+b_{n+1}=-\frac{1}{2} S_n, n \in \mathrm{~N}^*$ ，其中 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$ 项和。
（1）写出 $a_2, b_2$ ，并求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}$ 是等差数列，并求 $S_n$ ．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=2$ ，对任意的正整数 $n$ ，点 $\left(a_{n+1}, S_n\right)$ 均在函数 $f(x)=x$ 图象上．
（1）证明：数列 $\left\{S_n\right\}$ 是等比数列；
（2）问 $\left\{a_n\right\}$ 中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由．