科数网-函数、连续与极限

发布日期 2026/8/3 17:13:20 查看 9 加入组卷查看作者

单选题

设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f\{f[f(x)]\}$ 等于

$\text{A.}$ 0． $\text{B.}$ 1 ． $\text{C.}$ $\begin{cases}1, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & |x|>1 .\end{cases}$ $\text{D.}$ $\begin{cases}0, & |x| \leqslant 1, \\ 1, & |x|>1 .\end{cases}$

若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$ ，且 $a \neq 0$ ，则当 $n$ 充分大时有

$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$ ． $\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$ ． $\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$ ． $\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$ ．

函数 $f(x)=\frac{|x| \sin (x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$ 在下列哪个区间内有界

$\text{A.}$ $(-1,0)$ ． $\text{B.}$ $(0,1)$ ． $\text{C.}$ （1，2）． $\text{D.}$ $(2,3)$ ．

设对任意的 $x$ ，总有 $\varphi(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\lim _{x \rightarrow-\infty}[g(x)-\varphi(x)]=0$ ，则$\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$

$\text{A.}$ 存在且等于零。 $\text{B.}$ 存在但不一定等于零。 $\text{C.}$ 一定不存在． $\text{D.}$ 不一定存在．

当 $x \rightarrow 0$ 时，变量 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是

$\text{A.}$ 无穷小。 $\text{B.}$ 无穷大。 $\text{C.}$ 有界的，但不是无穷小． $\text{D.}$ 无界的，但不是无穷大．

函数 $f(x)=x \sin x$

$\text{A.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时为无穷大。 $\text{B.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界． $\text{C.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界． $\text{D.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时有有限极限．

当 $x \rightarrow 1$ 时，函数 $\frac{x^2-1}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限

$\text{A.}$ 等于 2 ． $\text{B.}$ 等于 0 ． $\text{C.}$ 为 $\infty$ 。 $\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$ ．

极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x=$

$\text{A.}$ 1． $\text{B.}$ e． $\text{C.}$ $\mathrm{e}^{a-b}$ ． $\text{D.}$ $\mathrm{e}^{b-a}$ ．

若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为

$\text{A.}$ 0． $\text{B.}$ 6 ． $\text{C.}$ 36 ． $\text{D.}$ $\infty$ ．

已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，其中 $a, b$ 是常数，则

$\text{A.}$ $a=1, b=1$ ． $\text{B.}$ $a=-1, b=1$ ． $\text{C.}$ $a=1, b=-1$ ． $\text{D.}$ $a=-1, b=-1$ ．

当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $x-\tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$

$\text{A.}$ 1 ． $\text{B.}$ 2 ． $\text{C.}$ 3 ． $\text{D.}$ 4 ．

已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小，则

$\text{A.}$ $k=1, c=4$ ． $\text{B.}$ $k=1, c=-4$ ． $\text{C.}$ $k=3, c=4$ ． $\text{D.}$ $k=3, c=-4$ ．

当 $x \rightarrow 0$ 时，$x-\sin x$ 是 $x^2$ 的

$\text{A.}$ 低阶无穷小。 $\text{B.}$ 高阶无穷小。 $\text{C.}$ 等价无穷小。 $\text{D.}$ 同阶但非等价无穷小。

若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则

$\text{A.}$ $a b=\frac{1}{2}$ ． $\text{B.}$ $a b=-\frac{1}{2}$ ． $\text{C.}$ $a b=0$ ． $\text{D.}$ $a b=2$ ．

函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为

$\text{A.}$ 1． $\text{B.}$ 2 ． $\text{C.}$ 3 ． $\text{D.}$ 无穷多个．

设函数 $f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x$ ，则 $f(x)$ 有

$\text{A.}$ 有1个可去间断点，1个跳跃间断点． $\text{B.}$ 有1个可去间断点，1个无穷间断点． $\text{C.}$ 有两个无穷间断点． $\text{D.}$ 有两个跳跃间断点．

填空题

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}=$

$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+2^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^3}$

$\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}}$

$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\right]^n$

设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+a, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^x(\sin x+\cos x), & x>0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，则 $a=$

解答题

求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^2\left(\mathrm{e}^x-1\right)}$ ．

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$

当 $x \rightarrow 0$ 时， $1-\cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x$ 与 $a x^n$ 为等价无穷小量，求 $n$ 与 $a$ 的值．

设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln [\cos (x-1)]}{1-\sin \frac{\pi}{2} x}, & x \neq 1, \\ 1, & x=1 .\end{array}\right.$ 问函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处是否连续？若不连续，修改函数在 $x=1$ 处的定义，使之连续．