科数网-平面向量的数量积及应用

发布日期 2026/7/31 15:27:30 查看 5 加入组卷查看作者

单选题

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=2|\vec{b}|=2,(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+\vec{b})=8$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$ $\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{6}$

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=5,|\vec{b}|=6, \vec{a} \cdot \vec{b}=-6$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}|=$

$\text{A.}$ 3 $\text{B.}$ 49 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ 7

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=3|\vec{b}|=|\vec{a}-2 \vec{b}|=3$ ，则 $\vec{a} \cdot(\vec{a}-\vec{b})=$

$\text{A.}$ 8 $\text{B.}$ 9 $\text{C.}$ 14 $\text{D.}$ 23

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=\sqrt{2}, \vec{a}-\vec{b}=(\sqrt{3}, \sqrt{2})$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}|=$

$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$ $\text{B.}$ $\sqrt{10}$ $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ $2 \sqrt{5}$

已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=2|\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a}-\vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$ $\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{6}$

已知非零向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-2 \vec{b}|$ ，且 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{2}{3} \vec{a}$ ，则 $\left\lvert\, \frac{\vec{a}}{|\vec{b}|}=\right.$

$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ $\sqrt{3}$

在正方形 $A B C D$ 中，动点 $E$ 从点 $B$ 出发，经过 $C, D$ ，到达 $A, \overrightarrow{A E}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}$ ，则 $\lambda+\mu$ 的取值范围是

$\text{A.}$ ［－1，1］ $\text{B.}$ $[0,1]$ $\text{C.}$ ［－1，2］ $\text{D.}$ ［0，2］

如图，半圆的直径 $A B=8, O$ 为圆心，$C$ 为半圆上不同于 $A, B$ 的任意一点，若 $P$ 为半径 $O C$ 上的动点，则$(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot \overrightarrow{P C}$ 的最小值等于

$\text{A.}$ -16 $\text{B.}$ -8 $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ 2

如图，某人用 $1.5 m$ 长的绳索，施力 $25 N$ ，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了 $6 m$ ，拖拉点在坚直方向距离斜面的高度为 1.2 m ，则此人对该物体所做的功为

$\text{A.}$ $\sqrt{13} J$ $\text{B.}$ $30 \sqrt{13} \mathrm{~J}$ $\text{C.}$ 125J $\text{D.}$ $150 J$

已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=-\frac{1}{2}$ ，则

$\text{A.}$ $|2 \vec{b}|>|\vec{a}+2 \vec{b}|$ $\text{B.}$ $|2 \vec{b}| < |\vec{a}+2 \vec{b}|$ $\text{C.}$ $|2 \vec{a}| < |2 \vec{a}+\vec{b}|$ $\text{D.}$ $|2 \vec{a}|>|2 \vec{a}+\vec{b}|$

已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 在平面直角坐标系中位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为 1 ，则下列选项中错误的是

$\text{A.}$ $(\vec{a}+\vec{b}) \perp(\vec{a}-\vec{b})$ $\text{B.}$ 向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $\frac{2}{3} \vec{a}$ $\text{C.}$ $\stackrel{\mathrm{r}}{a} \cdot \stackrel{1}{b}=6$ $\text{D.}$ 若 $\vec{c}=(-1,2)$ ，则 $\vec{c} / /(\vec{a}-\vec{b})$

多选题

已知平面向量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(1,2 \sqrt{3})$ ，则下列说法正确的是

$\text{A.}$ $|\vec{a}+\vec{b}|=16$ $\text{B.}$ $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a}=2$ $\text{C.}$ $\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\text{D.}$ 向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $2 \vec{a}$

已知向量 $\overrightarrow{A B}=(a x,-1), \overrightarrow{B C}=(x-a x, 1-x)$ ，则函数 $f(x)=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ 的大致图象可能为

$\text{A.}$

$\text{B.}$

$\text{C.}$

$\text{D.}$

填空题

已知向量 $\overrightarrow{e_1}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \overrightarrow{e_2}=(\cos \beta, \sin \beta), \vec{m}=(0,1)$ ，若 $\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}=\vec{m}$ ，则 $\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}=$

若向量 $\vec{a}=(2, x), \vec{b}=(-2,1)$ 不共线，且 $(\vec{a}+\vec{b}) \perp(\vec{a}-\vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=$

解答题

已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ},|\vec{a}|=1, \vec{a} \cdot(\vec{a}-2 \vec{b})=-1$ ，则 $(\vec{a}+2 \vec{b}) \cdot \vec{b}=$

一条河南北两岸平行．如图所示，河面宽度 $d=1 \mathrm{~km}$ ，一艘游船从南岸码头 $A$ 点出发航行到北岸．游船在静水中的航行速度是 $\overrightarrow{v_1}$ ，水流速度 $\overrightarrow{v_2}$ 的大小为 $\left|\overrightarrow{v_2}\right|=4 \mathrm{~km} / h$ ．设 $\overrightarrow{v_1}$ 和 $\overrightarrow{v_2}$ 的夹角为 $\theta\left(0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\right)$ ，北岸上的点 $A^{\prime}$ 在点 $A$ 的正北方向．
（1）若游船沿 $A A^{\prime}$ 到达北岸 $A^{\prime}$ 点所需时间为 6 min ，求 $\overrightarrow{v_1}$ 的大小和 $\cos \theta$ 的值；
（2）当 $\theta=60^{\circ},\left|\overrightarrow{v_1}\right|=10_{\mathrm{km}} / h$ 时，游船航行到北岸的实际航程是多少？

已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 是同一平面内的两个向量，其中 $|\vec{a}|=\sqrt{5}$ ．
（1）若 $|\vec{b}|=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ ；
（2）若 $|\vec{b}|=\sqrt{3}$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$ ，且 $|\vec{c}|=\sqrt{2}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ 的值．