设 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 为实矩阵，秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n$ ，则 。

已知 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为四维列向量组，且行列式 $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1\right|=$ $-4,|\boldsymbol{B}|=\left|\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2\right|=2$ ，则行列式 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=$ 。

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a \\ a & 2 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 为三阶矩阵， $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=2$ ，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=0$ ，则 ．

已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为0，2，－2，则下列结论不成立的是 ．

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵 $(n>2), \boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则 。

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则 $\boldsymbol{A}$ 不可逆的充分必要条件为 。

设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\ 4 & b & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，若存在矩阵 $\boldsymbol{B} \neq \mathbf{0}$ ，使 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\mathbf{0}$ ，则 $b=$

已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_5$ 是线性空间 $V$ 中的向量，且 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 及 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_5$ 线性无关，而 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关，则 $V$ 的子空间 $L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right.$ ， $\left.\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_5-\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 的维数为

若实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_1 x_2-2 \lambda x_1 x_3+\lambda x_2^2-2 x_2 x_3+x_3^2$ 的正负惯性指数均为1，则 $\lambda$ 的值为

设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ ，且 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=0,|2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=0,|\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}|=0$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$

设 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)$ ，则方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵（ $n$ 为奇数），且 $|\boldsymbol{A}|=-4, \boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=0$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^*+\boldsymbol{E}\right|=$

设行列式 $D=\left|a_{i j}\right|_n=\left|\begin{array}{ccccc}1+x & 2 & \cdots & n-1 & n \\ 1 & 2+x & \cdots & n-1 & n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & 2 & \cdots & (n-1)+x & n \\ 1 & 2 & \cdots & n-1 & n+x\end{array}\right|$ ，其中$x \neq 0, A_{i j}$ 为 $D$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，试求 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n A_{i j}$

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为三阶矩阵，且满足 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．

设实向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_1, a_2, a_3\right)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $a_1 \neq 0, \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 为正交矩阵，其中 $k \neq 0$ ．
（1）试求常数 $k$ ；
（2）可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵；
（3）行列式 $\left|2 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^n\right|$ ．

设线性方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x x_3 & -1, \\
2 x_1+(2+a) x_2 & -(b+2) x_3=3, \\
-3 a x_2 & +(a+2 b) x_3=-3 .
\end{aligned}\right.
$$

（1）$a, b$ 取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？
（2）当线性方程组有无穷多解时，求出其通解．

已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 都是线性空间 $V$ 的基，且 $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3$ ， $\boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2+3 \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha} \in V, \boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的坐标 $x=$ $(1,3,-1)^{\mathrm{T}}$ ．试求：
（1）由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{A}$ ；
（2）由基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 到基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{B}$ ；
（3） $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标 $y$ 。

用正交变换将二次曲面方程 $x^2+y^2+2 x y-4 y z-4 x z=4$ 化为标准方程，并写出所用正交变换。

设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 的秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=r < n$ ．
（1）试简述齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} x=0$ 解的结构；
（2）试简述非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} x=b$ 解的结构。

设向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 线性无关，且可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示。试证明：
（1）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关；
（2）向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 等价。