科数网-平面向量的线性性质与坐标表示

发布日期 2026/7/30 22:39:11 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

如图所示，$D 、 E 、 F$ 分别是 $\triangle A B C$ 的边 $A B 、 B C 、 C A$ 的中点，则 $\overrightarrow{A F}-\overrightarrow{D B}=$

$\text{A.}$ $\overrightarrow{F D}$ $\text{B.}$ $\overrightarrow{F C}$ $\text{C.}$ $\overrightarrow{F E}$ $\text{D.}$ $\overrightarrow{B E}$

在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 是线段 $B C$ 上一点，满足 $B D=2 D C, M$ 是线段 $A D$ 的中点，设 $\overrightarrow{B M}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$ ，则

$\text{A.}$ $x-y=-\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $x+y=-\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ $x-y=\frac{1}{2}$ $\text{D.}$ $x+y=\frac{1}{2}$

如图，在 $\triangle A B C$ 中，点 $O$ 在边 $B C$ 上，且 $O C =2 O B$ ．过点 $O$ 的直线分别交射线 $A B$ 、射线 $A C$ 于不同的两点 $M 、 N$ ，若 $\overrightarrow{A B}=m \overrightarrow{A M}, \overrightarrow{A C}=n \overrightarrow{A N}$ ，则 $2 m +n=$

$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ －2

设 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是

$\text{A.}$ $\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$ 和 $\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$ $\text{B.}$ $2 \overrightarrow{e_1}-3 \overrightarrow{e_2}$ 和 $4 \overrightarrow{e_1}-6 \overrightarrow{e_2}$ $\text{C.}$ $\overrightarrow{e_1}+2 \overrightarrow{e_2}$ 和 $2 \overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$ $\text{D.}$ $\overrightarrow{e_2}$ 和 $\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$

已知对任意平面向量 $\overrightarrow{A B}=(x, y)$ ，把 $\overrightarrow{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到向量 $A P= (x \cos \theta-y \sin \theta, x \sin \theta+y \cos \theta)$ ，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到点 $P$ 。已知平面内点 $A(1,2)$ ，点 $B(1+\sqrt{3}, 4)$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{\pi}{3}$ 后得到点 $P$ ，则点 $P$的坐标为

$\text{A.}$ $\left(\frac{3}{2} \sqrt{3}+1, \frac{3}{2}\right)$ $\text{B.}$ $\left(-\frac{3}{2} \sqrt{3}+1, \frac{3}{2}\right)$ $\text{C.}$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2} \sqrt{3}\right)$ $\text{D.}$ $\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}\right)$

古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则 $\overrightarrow{A B}=$

$\text{A.}$ $-\frac{3}{2} \overrightarrow{C E}+\frac{5}{6} \overrightarrow{D E}$ $\text{B.}$ $-\frac{5}{6} \overrightarrow{C E}+\frac{3}{2} \overrightarrow{D E}$ $\text{C.}$ $-\frac{2}{3} \overrightarrow{C E}+\frac{5}{6} \overrightarrow{D E}$ $\text{D.}$ $-\frac{5}{6} \overrightarrow{C E}+\frac{2}{3} \overrightarrow{D E}$

多选题

已知平面向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ ，下列四个命题不正确的是

$\text{A.}$ 若 $|\vec{a}|=0$ ，则 $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ $\text{B.}$ 单位向量都相等 $\text{C.}$ 方向相反的两个非零向量一定共线 $\text{D.}$ 若 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|>|\vec{b}|$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a}>\vec{b}$

填空题

已知问量 $\vec{a}=(1,1)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量是

如图，平面四边形 $A B C D$ 中，其中 $\cos \operatorname{LDAB}=\frac{3}{4}, \angle B A C=\angle D A C, A D < A B$ ，且 $A B=5, A C=B D=\sqrt{14}$ ，若 $\overrightarrow{A C}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A D}(\lambda, \mu \in R)$ ，则 $\lambda+\mu=$

已知点$A(-1,2), B(2,8)$ ，若向量 $\overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{A C}$ ，则点 $C$ 的坐标是

解答题

已知 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 是两个不共线的向量．
（1）若 $\overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{e_1}-2 \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{B C}=4 \overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{C D}=8 \overrightarrow{e_1}-9 \overrightarrow{e_2}$ ，求证：$A, B, D$ 三点共线；
（2）若 $2 \lambda \overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$ 和 $e_1+\lambda e_2$ 共线，求实数 $\lambda$ 的值．

已知 $O(0,0)$ ，向量 $\overrightarrow{O A}=(2,1), \overrightarrow{O B}=(3,-2)$ ．
（1）如图，若四边形 $O A C B$ 为平行四边形，求点 $C$ 的坐标；
（2）若点 $P$ 为线段 $A B$ 的靠近点 $B$ 的三等分点，求点 $P$ 的坐标．

设 $A, B, C, D$ 为平面内的四点，且 $A(1,3), B(2,-2), C(4,1)$ ．
（1）若 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}$ ，求 $D$ 点的坐标；
（2）设向量 $\vec{a}=\overrightarrow{A B}, \vec{b}=\overrightarrow{B C}$ ，若向量 $k \vec{a}-\vec{b}$ 与 $\vec{a}+3 \vec{b}$ 平行，求实数 $k$ 的值．