科数网-二次型

发布日期 2026/7/29 10:01:19 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2+2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的正负惯性指数分别为 1,2 ，则

$\text{A.}$ $a>1$ ． $\text{B.}$ $a < -2$ ． $\text{C.}$ $-2 < a < 1$ ． $\text{D.}$ $a=1$ 或 $a=-2$ ．

设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $\boldsymbol{P}=$ $\left(e_1, e_2, e_3\right)$ ，若 $\boldsymbol{Q}=\left(e_1,-e_3, e_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为

$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$ ． $\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ． $\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ． $\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$ ．

设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$

$\text{A.}$ 合同且相似。 $\text{B.}$ 合同但不相似． $\text{C.}$ 不合同但相似。 $\text{D.}$ 不合同且不相似．

设 $\boldsymbol{A}$ 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 $(x, y, z) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=1$ 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 $\boldsymbol{A}$ 的正特征值的个数为

$\text{A.}$ 0． $\text{B.}$ 1 ． $\text{C.}$ 2 ． $\text{D.}$ 3 ．

填空题

二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为

若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+t x_2 x_3$ 是正定的，则 $t$ 的取值范围是

解答题

求一个正交变换化二次型 $f=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2-4 x_1 x_2+4 x_1 x_3-8 x_2 x_3$ 成标准形。

用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换．
$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+5 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+8 x_2 x_3$