科数网-特征值与特征向量

发布日期 2026/7/28 15:21:16 查看 4 加入组卷查看作者

单选题

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的特征值之一是

$\text{A.}$ $\lambda^{-1}|\boldsymbol{A}|^n$ ． $\text{B.}$ $\lambda^{-1}|\boldsymbol{A}|$ ． $\text{C.}$ $\lambda|\boldsymbol{A}|$ ． $\text{D.}$ $\lambda|\boldsymbol{A}|^n$ ．

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$ ，则

$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆． $\text{B.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆． $\text{C.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆． $\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆．

设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维单位列向量， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则

$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆． $\text{B.}$ $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆． $\text{C.}$ $\boldsymbol{E}+2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆． $\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆．

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 具有 $n$ 个不同的特征值是 $\boldsymbol{A}$ 与对角阵相似的

$\text{A.}$ 充分必要条件。 $\text{B.}$ 充分而非必要条件。 $\text{C.}$ 必要而非充分条件． $\text{D.}$ 既非充分也非必要条件。

矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为

$\text{A.}$ $a=0, b=2$ ． $\text{B.}$ $a=0, b$ 为任意常数． $\text{C.}$ $a=2, b=0$ ． $\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数．

设有矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，则

$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似， $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似． $\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似， $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似 $\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似， $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似． $\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似， $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似

填空题

矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2\end{array}\right)$ 的非零特征值是

设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(1,0, k)^{\mathrm{T}}$ ，若矩阵 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 相似于 $\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $k=$

若四阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ ，则行列式 $\left|\boldsymbol{B}^{-1}-\boldsymbol{E}\right|=$ $\_\_\_\_$．

解答题

求矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-3 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的实特征值及对应的特征向量．

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵， $2,4, \cdots, 2 n$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值， $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵。计算行列式$|\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}|$ 的值．

设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量，求 $x$ 和 $y$ 应满足的条件．

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似．
（I）求 $x$ 与 $y$ ；
（II）求一个满足 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 P．

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．

（I）求 $\boldsymbol{A}^{99}$ ；
（II）设3阶矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 满足 $\boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 。记 $\boldsymbol{B}^{100}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}\right)$ ，将 $\boldsymbol{\beta}$ ， $\boldsymbol{\beta}_2$ ，$\boldsymbol{\beta}_3$ 分别表示为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的线性组合。