科数网-导数与函数的极值、最值

发布日期 2026/7/26 20:35:00 查看 6 加入组卷查看作者

单选题

若函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}(a \neq 0)$ 既有极大值也有极小值，则。

$\text{A.}$ $b c>0$ $\text{B.}$ $a b>0$ $\text{C.}$ $b^2+8 a c>0$ $\text{D.}$ $a c < 0$

函数 $f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 的最小值、最大值分别为

$\text{A.}$ $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ $\text{B.}$ $-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ $\text{C.}$ $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}+2$ $\text{D.}$ $-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}+2$

当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=$

$\text{A.}$ －1 $\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{D.}$ 1

多选题

已知函数 $f(x)=x^3-x+1$ ，则

$\text{A.}$ $f(x)$ 有两个极值点 $\text{B.}$ $f(x)$ 有三个零点 $\text{C.}$ 点 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的对称中心 $\text{D.}$ 直线 $y=2 x$ 是曲线 $y=f(x)$ 的切线

填空题

已知函数 $f(x)=(\ln x)^2-a x^2$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是

若函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^3+x^2-2$ 在区间 $(a-4, a)$ 上存在最小值，则整数 $a$ 的取值可以是

解答题

已知函数 $f(x)=-x+\ln x, g(x)=x \mathrm{e}^x-2 x-m$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的极值点；
（2）若 $f(x) \leq g(x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

己知函数 $f(x)=\frac{a \mathrm{e}^x}{x}+\ln x-x$ 有三个极值点 $x_1, x_2, x_3\left(x_1 < x_2 < x_3\right)$ ，其中 $a \in \mathbf{R}$ ．
（1）求 $a$ 的取值范围；
（2）求证：$x_1+x_3>2$ ；
（3）求证：$\frac{f\left(x_3\right)}{x_1}+\frac{f\left(x_1\right)}{x_3}>-\frac{2}{a^3 \mathrm{e}^4}$ ．

已知函数 $f(x)=\ln x+\sin x$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 在区间 $[1, \mathrm{e}]$ 上的最小值；
（2）判断函数 $f(x)$ 的零点个数，并证明．

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x \sin x-2 x$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（2）求 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值；
（3）设实数 $a$ 使得 $f(x)+x>a \mathrm{e}^x$ 对 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立，写出 $a$ 的最大整数值，并说明理由．