科数网-方程组的基础解系

发布日期 2026/7/26 17:22:52 查看 1 加入组卷查看作者

单选题

设 $n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分必要条件是

$\text{A.}$ $r=n$ 。 $\text{B.}$ $r < n$ ． $\text{C.}$ $r \geqslant n$ ． $\text{D.}$ $r>n$

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 仅有零解的充分条件是

$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关． $\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性相关． $\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量线性无关． $\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量线性相关．

非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 中未知量个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为$r$ ，则

$\text{A.}$ $r=m$ 时，方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解。 $\text{B.}$ $r=n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解。 $\text{C.}$ $m=n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有惟一解． $\text{D.}$ $r < n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解．

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，则线性方程组 $\boldsymbol{A B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$

$\text{A.}$ 当 $n>m$ 时仅有零解。 $\text{B.}$ 当 $n>m$ 时必有非零解． $\text{C.}$ 当 $m>n$ 时仅有零解。 $\text{D.}$ 当 $m>n$ 时必有非零解．

设有三张不同平面的方程 $a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=b_i, i=1,2,3$ ，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2 ，则这三张平面可能的位置关系为

$\text{A.}$

$\text{B.}$

$\text{C.}$

$\text{D.}$

如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

$$
a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=d_i(i=1,2,3)
$$

组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $\boldsymbol{A}, \overline{\boldsymbol{A}}$ ，则

$\text{A.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \mathrm{r}(\overline{\boldsymbol{A}})=3$ ． $\text{B.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \mathrm{r}(\overline{\boldsymbol{A}})=2$ ． $\text{C.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=1, \mathrm{r}(\overline{\boldsymbol{A}})=2$ ． $\text{D.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=1, \mathrm{r}(\overline{\boldsymbol{A}})=1$ ．

填空题

若齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=0, \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0, \\ x_1+x_2+x_3=0\end{array}\right.$ ，只有零解，则 $\lambda$ 应满足的条件是

设 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 为3阶矩阵。若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性无关，且 $\boldsymbol{\alpha}_3=-\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2$ ，则线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解为

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & a^2-1\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ ，若线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则$a=$

已知方程组 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ 无解，则 $a=$

设方程 $\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ 有无穷多解，则 $a=$

解答题

解线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x_1-x_2+4 x_3-3 x_1=-4, \\ x_1+x_3-x_4=-3, \\ 3 x_1+x_2+x_3=1, \\ 7 x_1+7 x_3-3 x_4=3 .\end{array}\right.$

问 $a, b$ 为何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0, \\ x_2+2 x_3+2 x_4=1, \\ -x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b, \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1,\end{array}\right.$ 有唯一解？无解？有无穷多组解？并求出有无穷多组解时的通解．

$k$ 为何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+k x_3=4, \\ -x_1+k x_2+x_3=k^2 \\ x_1-x_2+2 x_3=-4\end{array}\right.$ ，有惟一解、无解、有无穷多解？在有解情况下，求出其全部解。

求齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_5=0, \\ x_1+x_2-x_3=0, \\ x_3+x_4+x_5=0\end{array}\right.$ 的基础解系。