科数网-基本不等式

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科数网-基本不等式

发布日期 2026/7/24 13:58:23 查看 6 加入组卷查看作者

单选题

若正数 $x, y$ 满足 $x+2 y=2$ ，则 $\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$ 的最小值为

$\text{A.}$ $\sqrt{2}+1$ $\text{B.}$ $2 \sqrt{2}+1$ $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ $\frac{5}{2}$

已知 $a>1$ ，则 $a+\frac{16}{a-1}$ 的最小值为

$\text{A.}$ 8 $\text{B.}$ 9 $\text{C.}$ 10 $\text{D.}$ 11

已知实数 $x, y, z>0$ ，满足 $x y+\frac{z}{x}=2$ ，则当 $\frac{4}{y}+\frac{1}{z}$ 取得最小值时，$y+z$ 的值为

$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ $\frac{3}{2}$ $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ $\frac{5}{2}$

若 $a, b, c$ 均为正数，且满足 $a^2+3 a b+3 a c+9 b c=18$ ，则 $2 a+3 b+3 c$ 的最小值是

$\text{A.}$ 6 $\text{B.}$ $4 \sqrt{6}$ $\text{C.}$ $6 \sqrt{2}$ $\text{D.}$ $6 \sqrt{3}$

已知 $a>0, b>0, c>1, a+2 b=2$ ，则 $\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right) c+\frac{2}{c-1}$ 的最小值为

$\text{A.}$ $\frac{9}{2}$ $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ $\frac{21}{2}$

已知 $2^m=3^n=6$ ，则 $m, n$ 不可能满足的关系是

$\text{A.}$ $m+n>4$ $\text{B.}$ $m n>4$ $\text{C.}$ $m^2+n^2 < 8$ $\text{D.}$ $(m-1)^2+(n-1)^2>2$

若 $a, b, c$ 均为正数，且满足$a^2+2 a b+3 a c+6 b c=1$ ，则 $2 a+2 b+3 c$ 的最小值是

$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ $\sqrt{2}$ $\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$

已知 $F_1, F_2$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，则 $\left|M F_1\right| \cdot\left|M F_2\right|$ 的最大值为

$\text{A.}$ 13 $\text{B.}$ 12 $\text{C.}$ 9 $\text{D.}$ 6

多选题

已知 $a>0, b>0$ ，且 $a+b=1$ ，则

$\text{A.}$ $a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $2^{a-b}>\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ $\log _2 a+\log _2 b \geq-2$ $\text{D.}$ $\sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

设 $a, b$ 为两个正数，定义 $a, b$ 的算术平均数为 $A(a, b)=\frac{a+b}{2}$ ，几何平均数为
$G(a, b)=\sqrt{a b}$ 。上个世纪五十年代，美国数学家 D．H．Lehmer 提出了＂Lehmer 均值＂，即 $L_p(a, b)=\frac{a^p+b^p}{a^{p-1}+b^{p-1}}$ ，其中 $p$ 为有理数．下列结论正确的是

$\text{A.}$ $L_{0.5}(a, b) \leq L_1(a, b)$ $\text{B.}$ $L_0(a, b) \leq G(a, b)$ $\text{C.}$ $L_2(a, b) \leq A(a, b)$ $\text{D.}$ $L_{n+1}(a, b) \leq L_n(a, b)$

填空题

已知实数 $a>0, b>0, a+b=1$ ，则 $2^a+2^b$ 的最小值为

$\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)(\sqrt{x}+4 \sqrt{y})$ 的最小值为

已知 $a>0, b>0$ ，若不等式 $\frac{3}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{m}{a+3 b}$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为

已知实数 $x, y$ 满足 $x^2+2 y^2-2 x y=4$ ，则 $x y$ 的最大值为

若 $a>0, b>0, a+b=9$ ，则 $\frac{36}{a}+\frac{a}{b}$ 的最小值为

已知 $a>0, b>0,2 a+b=2$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$ 的最小值是

已知实数 $a>0>b$ ，且 $a-b=5$ ，则 $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2-b}$ 的最小值为

若 $a, b \in \mathbf{R}, a b>0$ ，则 $\frac{4 a^4+b^4+4}{a b}$ 的最小值为

已知 $x>0, y>0$ ，若 $2 x+y+x y=6$ ，则 $2 x+y$ 的最小值为

已知正实数 $x, y$ 满足 $x+y=\frac{1}{5}$ ，则 $\frac{1}{3 x+y}+\frac{2}{x+2 y}$ 的小值为

若 $a>0, b>0$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}+b$ 的最小值为

已知 $5 x^2 y^2+y^4=1(x, y \in R)$ ，则 $x^2+y^2$ 的最小值是

已知 $a>0, b>0$ ，且 $a b=1$ ，则 $\frac{1}{2 a}+\frac{1}{2 b}+\frac{8}{a+b}$ 的最小值为