科数网-向量空间

发布日期 2026/7/23 15:23:50 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

设向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，但不能由向量组（I） $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{m-1}$ 线性表示，记向量组（II） $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m-1}, \boldsymbol{\beta}$ ，则

$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_m$ 不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示。 $\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_m$ 不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示。 $\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_m$ 可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示。 $\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_m$ 可由（I）线性表示，但不可由（II）线性表示．

设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=r < n$ ，那么在 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个行向量中

$\text{A.}$ 必有 $r$ 个行向量线性无关． $\text{B.}$ 任意 $r$ 个行向量都线性无关． $\text{C.}$ 任意 $r$ 个行向量都构成极大线性无关向量组。 $\text{D.}$ 任意一个行向量都可以由其他 $r$ 个行向量线性表示。

$\boldsymbol{n}$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{,}(3 \leqslant s \leqslant n)$ 线性无关的充分必要条件是

$\text{A.}$ 存在一组不全为 0 的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，使 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s \neq \mathbf{0}$ $\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 中任意两个向量都线性无关． $\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ ，中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出。 $\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出．

若向量组 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 线性无关， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\delta}$ 线性相关，则

$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}$ 必可由 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\delta}$ 线性表示． $\text{B.}$ $\boldsymbol{\beta}$ 必不可由 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\delta}$ 线性表示． $\text{C.}$ $\boldsymbol{\delta}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 线性表示． $\text{D.}$ $\boldsymbol{\delta}$ 必不可由 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 线性表示．

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是

$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_1$ ． $\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ ． $\text{C.}$ $\alpha_1-2 \alpha_2, \alpha_2-2 \alpha_3, \alpha_3-2 \alpha_1$ ． $\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+2 \boldsymbol{\alpha}_1$ ．

填空题

若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{c}1 \\ k \\ -1\end{array}\right]$ ，则当 $k=$ $\_\_\_\_$时，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关．

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,-1,1), \boldsymbol{\alpha}_2=(2,0, t, 0), \boldsymbol{\alpha}_3=(0,-4,5,-2)$ 的秩为 2 ，则$t=$

解答题

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 4 \\ 3\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -6 \\ 6\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{c}-1 \\ -2 \\ 2 \\ -9\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_4=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2 \\ 7\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_5=\left[\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 4 \\ 9\end{array}\right]$ ，求向量组$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 的秩以及一个极大线性无关组，并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示．

已知 $\alpha_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 5\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 7\end{array}\right]$ ，讨论向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 和向量组 $\alpha_1, \alpha_2$ 的线性相关性。

设有三维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-1,1)^T, \boldsymbol{\alpha}_2=(1, p, 2)^T, \boldsymbol{\alpha}_3=(1,2, p)^T, \boldsymbol{\beta}=(3,3,5)^T$ ，问 $p$取何值时，（1）$\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式唯一；（2）$\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，但表达式不唯一：（3） $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示．

设 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_3=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]$ ，判断向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 能否由$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性表示，向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 能否由向量组 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示？

已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,4,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,7,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(0,1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(3,10, b, 4)^{\mathrm{T}}$ ，问：

I） $a, b$ 取何值时， $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示？
（II） $a, b$ 取何值时，$\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示？并写出此表达式．

证明题

已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$b_1=\alpha_1+\alpha_2, b_2=\alpha_2+\alpha_3, b_3=\alpha_3+\alpha_1$ ，试证：$\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3$ 线性无关．