科数网-解三角形中的最值及范围问题

发布日期 2026/7/21 16:17:10 查看 7 加入组卷查看作者

单选题

在锐角 $\triangle A B C$ 中，$B C=4, \sin B+\sin C=2 \sin A$ ，则中线 $A D$ 的取值范围是

$\text{A.}$ $(2,2 \sqrt{3})$ $\text{B.}$ $(2, \sqrt{13})$ $\text{C.}$ $(2 \sqrt{3}, 4)$ $\text{D.}$ $[2 \sqrt{3}, \sqrt{13})$

$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a \sin A+(b+\lambda a) \sin B=c \sin C$ ，则 $\lambda$ 的取值范围为

$\text{A.}$ $(-2,2)$ $\text{B.}$ $(0,2)$ $\text{C.}$ $[-2,2]$ $\text{D.}$ $[0,2]$

在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\sin ^2 A \leqslant \sin ^2 B+\sin ^2 C-\sin B \sin C$ ．则 $A$ 的取值范围是

$\text{A.}$ $\left(0, \frac{\pi}{6}\right]$ $\text{B.}$ $\left[\frac{\pi}{6}, \pi\right)$ $\text{C.}$ $\left(0, \frac{\pi}{3}\right]$ $\text{D.}$ $\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right)$

填空题

如果 $\triangle A B C$ 的三边 $a 、 b 、 c$ 满足 $b^2=a c$ ，则角 $B$ 的取值范围为

解答题

已知 $a 、 b 、 c$ 分别为 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A 、 B 、 C$ 的对边长，$a=2$ ，且 $(b+2)(\sin A-\sin B)=c(\sin B+\sin C)$ ．
（1）求角 $A$ 的值；
（2）求 $\triangle A B C$ 面积的取值范围．

已知 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，若满足 $a(\sin 2 A-\cos B \cos C)+b \sin A \sin C=0$ ．
（1）求角 $A$ 的大小；
（2）若 $a=2$ ，求 $\triangle A B C$ 面积的取值范围．

已知锐角 $\triangle A B C$ 中，$a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边，若 $\sin A \sin B \sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\sin ^2 A+\sin ^2 B-\sin ^2 C\right)$ ．
（1）求 $\sin C$ ；
（2）若 $c=\sqrt{3}$ ，求 $\triangle A B C$ 周长的取值范围．

如图，在平面凸四边形 $A B C D$ 中，$C D \perp D B, C D=1, D B=\sqrt{3}, D A=2$ ．
（1）若 $\angle D A B=60^{\circ}$ ，求 $\cos \angle A C B$ ；
（2）求 $A B^2+B C^2+A C^2$ 的取值范围．

在 ABC 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $(b-c)(\sin B-\sin C)=a \sin A-b \sin C$ ．
（1）求角 $A$ 的大小；
（2）求 $\sin B+\sin C$ 的取值范围．

在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos 2 A+\cos 2 B-\cos 2 C=1-2 \sin A \sin B$ ．
（1）求角 $C$ 的大小；
（2）求 $\sin A+\sin B+\sin C$ 的取值范围．

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 A 为针角，$a \sin B=b \cos B$ ．
（1）若 $C=\frac{\pi}{6}$ ，求 A ；
（2）求 $\cos A+\cos B+\cos C$ 的取值范围．

在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边为 $a, b, c$ ．已知 $\mathrm{V} A B C$ 的面积 $S=\frac{a c}{4}$ ，其外接圆半径 $R=2$ ，且 $4\left(\cos ^2 A-\cos ^2 B\right)=(b-\sqrt{3} a) \sin B$.
（1）求 $\sin A$ ；
（2）若 $A$ 为针角，$P$ 为 $\triangle A B C$ 外接圆上的一点，求 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P A}$ 的取值范围．

若 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $\sin ^2 A-\sin ^2 B-\sin ^2 C=\sin B \sin C$ ．
（1）求角 $A$ ；
（2）若 $a=6$ ，求 $\triangle A B C$ 周长的取值范围．

在锐角 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c^2=\left(a^2+c^2-b^2\right)(\tan A+\tan B)$ ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若边 $a=\sqrt{2}$ ，边 $B C$ 的中点为 $D$ ，求中线 $A D$ 长的取值范围．

在锐角 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 b \sin A-\sqrt{3} a=0$ ．
（I）求角 $B$ 的大小；
（II）求 $\cos A+\cos B+\cos C$ 的取值范围．