科数网-矩阵

发布日期 2026/7/20 11:54:26 查看 5 加入组卷查看作者

单选题

设 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则必有

$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ． $\text{B.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$. $\text{C.}$ $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$ ． $\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|+|\boldsymbol{B}|=0$ ．

设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n \times n$ 矩阵，则必有

$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}|+|\boldsymbol{B}|$ ． $\text{B.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ ． $\text{C.}$ $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|$ ． $\text{D.}$ $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ ．

设 $n$ 维行向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\frac{1}{2}, 0, \cdots, 0, \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}+2 \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $\boldsymbol{A B}$ 等于

$\text{A.}$ $\boldsymbol{O}$ ． $\text{B.}$ $-\boldsymbol{E}$ ． $\text{C.}$ $\boldsymbol{E}$ ． $\text{D.}$ $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ．

设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵，则必有

$\text{A.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ． $\text{B.}$ $\boldsymbol{C} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ． $\text{C.}$ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{E}$ ． $\text{D.}$ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ．

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=a \neq 0$ ，而 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=$

$\text{A.}$ $a$ ． $\text{B.}$ $\frac{1}{a}$ ． $\text{C.}$ $a^{n-1}$ ． $\text{D.}$ $a^n$ ．

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=$

$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$ ． $\text{B.}$ $|\boldsymbol{A}|$ ． $\text{C.}$ $|\boldsymbol{A}|^n$ ． $\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|^{-1}$ ．

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}, \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}\right)^{-1}$ 等于

$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ ． $\text{B.}$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ ． $\text{C.}$ $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1} \boldsymbol{B}$ ． $\text{D.}$ $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$ ．

设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶方阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $\boldsymbol{B}$ ，再把 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 列加到第 3 列得 $\boldsymbol{C}$ ，则满足 $\boldsymbol{A Q}=\boldsymbol{C}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 为

$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． $\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． $\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$ ． $\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．

设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则必有

$\text{A.}$ 当 $|\boldsymbol{A}|=a(a \neq 0)$ 时，$|\boldsymbol{B}|=a$ 。 $\text{B.}$ 当 $|\boldsymbol{A}|=a(a \neq 0)$ 时，$|\boldsymbol{B}|=-a$ ． $\text{C.}$ 当 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 时，$|\boldsymbol{B}|=0$ ． $\text{D.}$ 当 $|\boldsymbol{A}|=0$ 时，$|\boldsymbol{B}|=0$ ．

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，则

$\text{A.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| \neq 0$ ． $\text{B.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|=0$ ． $\text{C.}$ 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| \neq 0$ ． $\text{D.}$ 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A B}|=0$ ．

填空题

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ 阶方阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=a,|\boldsymbol{B}|=b, \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ，则 $|\boldsymbol{C}|=$

设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为3维列向量， $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置．若 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=$

设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$

设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则逆矩阵 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{-1}=$

解答题

设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶方阵， $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$ ，求行列式 $\left|(3 \boldsymbol{A})^{-1}-2 \boldsymbol{A} \cdot\right|$ 的值。

设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$ ，求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right)$ ．

设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr}0 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -3 & 3 & -4\end{array}\right], \mathbf{B}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 1\end{array}\right]$ ，求 $\mathbf{X}$ 使 $\mathbf{X A}=\mathbf{B}$

设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & \lambda & -1 \\ 5 & 6 & 3 & \mu\end{array}\right]$ ，已知 $R(\mathbf{A})=2$ ，求 $\lambda$ 和 $\mu$ 的值

证明题

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，证明：$R(\mathbf{A}+\mathbf{E})+R(\mathbf{A}-\mathbf{E}) \geq n$ 。