科数网-行列式

发布日期 2026/7/19 14:36:34 查看 9 加入组卷查看作者

单选题

行列式 $\left|\begin{array}{cccc}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$

$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$ ． $\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$ ． $\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$ ． $\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$ ．

记行列式 $\left|\begin{array}{cccc}x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\ 2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\ 3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3\end{array}\right|$ 为 $f(x)$ ，则方程 $f(x)=0$ 的根
的个数为

$\text{A.}$ 1. $\text{B.}$ 2 ． $\text{C.}$ 3 ． $\text{D.}$ 4 ．

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为2阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ ，$\boldsymbol{B}^*$ 分别为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵，若 $|\boldsymbol{A}|=2, \quad|\boldsymbol{B}|=3$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为
．

$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 3 \boldsymbol{B}^* \\ 2 \boldsymbol{A}^* & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ $\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{B}^* \\ 3 \boldsymbol{A}^* & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ $\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 3 \boldsymbol{A}^* \\ 2 \boldsymbol{B}^* & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ $\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{A}^* \\ 3 \boldsymbol{B}^* & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$

填空题

求 $13 \cdots(2 n-1) 24 \cdots(2 n)$逆序数

写出四阶行列式中含有因子 $a_{11} a_{23}$ 的项．

设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$ ，则第四行各元素余子式之和的值为 $\_\_\_\_$

五阶行列式 $D=\left|\begin{array}{ccccc}1-a & a & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1-a & a & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1-a & a & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1-a & a \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1-a\end{array}\right|=$

解答题

计算$\left|\begin{array}{ccc}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{array}\right|$

计算 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 6 & 2\end{array}\right|$

$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}a & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & a\end{array}\right|$ ，其中主对角线上元素全部为 $a$ ；

$$
\left|\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right|=
$$

计算行列式 $D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc}1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 1 & a_1+b_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 1 & a_1 & a_2+b_2 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n+b_n\end{array}\right|$

计算 $D=\left|\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0
\end{array}\right| .$

计算 $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
\cos \beta & 1 & & & \\
1 & 2 \cos \beta & \ddots & & \\
& 1 & \ddots & 1 & \\
& & \ddots & 2 \cos \beta & 1 \\
& & & 1 & 2 \cos \beta
\end{array}\right| .$

求行列式 $D_4=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1+\cos \alpha & 1+\cos \beta & 1+\cos \gamma & 1+\cos \theta \\ \cos \alpha+\cos ^2 \alpha & \cos \beta+\cos ^2 \beta & \cos \gamma+\cos ^2 \gamma & \cos \theta+\cos ^2 \theta \\ \cos ^2 \alpha+\cos ^3 \alpha & \cos ^2 \beta+\cos ^3 \beta & \cos ^2 \gamma+\cos ^3 \gamma & \cos ^2 \theta+\cos ^3 \theta\end{array}\right|$

已知 $|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 5 \\ 3 & 4 & 7\end{array}\right|$ ，求 $3 A_{11}+5 A_{21}+4 A_{31}$

设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ．
（1）求行列式 $|\boldsymbol{A}|$ ；
（2）当 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解，并求 $x_2$ ．