上海交通大学概率论与数理统计期末考试第八套

发布日期 2026/7/17 14:37:25 查看 2 加入组卷查看作者

单选题

设 $A, B$ 为样本空间 $\Omega$ 上的两对立随机事件，则 $P(B \mid A \bar{B} \cup A B \cup \bar{A} B)=$

$\text{A.}$ 1 ； $\text{B.}$ $P(B)$ ； $\text{C.}$ $P(B \mid \bar{A})$ ； $\text{D.}$ $P(B \mid A)$ ．

设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x < 0, \\ 1 / 2, & 0 \leqslant x < 1 \\ 1-\mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则概率 $P(X= 1)=(\quad)$ ．

$\text{A.}$ 0 ； $\text{B.}$ $1 / 2$ ； $\text{C.}$ $1 / 2-\mathrm{e}^{-1}$ ； $\text{D.}$ $1-\mathrm{e}^{-1}$ ．

设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $E(X), E(Y)$ 存在，记 $U=\max \{X, Y\}$ ， $V=\min \{X, Y\}$ ，则 $E(U V)=(\quad)$ 。

$\text{A.}$ $E(X) E(Y)$ ； $\text{B.}$ $E(U) E(V)$ ； $\text{C.}$ $E(U) E(Y)$ ； $\text{D.}$ $E(V) E(X)$ ．

设 $\left(X_1, \cdots, X_9\right)$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，$\mu, \sigma^2$ 均未知，则 $\mu$的置信度为 $99 \%$ 的置信区间是（）。

$\text{A.}$ $\left(\bar{X}-\frac{S}{3} t_{0.025}(8), \bar{X}+\frac{S}{3} t_{0.025}(8)\right)$ ； $\text{B.}$ $\left(\bar{X}-\frac{S}{3} t_{0.025}(9), \bar{X}+\frac{S}{3} t_{0.025}(9)\right)$ ； $\text{C.}$ $\left(\bar{X}-\frac{S}{3} t_{0.01}(9), \bar{X}+\frac{S}{3} t_{0.01}(9)\right)$ ； $\text{D.}$ $\left(\bar{X}-\frac{S}{3} t_{0.005}(8), \bar{X}+\frac{S}{3} t_{0.005}(8)\right)$ ．

已知 $f_1(x)$ 为标准正态分布的密度函数，$f_2(x)$ 为区间 $(-1,3)$ 上均匀分布的密度函数，随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a f_1(x), & x \leqslant 0, \\ b f_2(x), & x>0,\end{array}(a>0, b>\right.$ 0 ），则（）。

$\text{A.}$ $a+b=3$ ； $\text{B.}$ $2 a+3 b=4$ ； $\text{C.}$ $a+b=1$ ； $\text{D.}$ $2 a+3 b=1$ ．

填空题

随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，且二次方程 $y^2+4 y+X=0$ 无实根的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $\mu=$

若 $(X, Y)$ 的联合分布列为

$F(x, y)$ 为 $(X, Y)$ 的联合分布函数，则 $F(0,2)=$

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从参数 $p=0.4$ 的（ $0-1$ ）分布，设 $Z=X Y$ ，则 $Z$ 的概率分布为

设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，则 $P(X>\sqrt{D(X)})=$

设方差 $D(X)=4, D(Y)=1$ ，相关系数 $\rho_{X Y}=0.5$ ，则 $D(3 X-2 Y)=$

设 $\left(X_1, X_2, X_3, X_4\right)$ 是取自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其中 $\sigma>$ 0 ，已知 $k X_1^2 /\left(X_2+X_3+X_4\right)^2$ 服从 $F$ 分布，则 $k=$

解答题

一盒手机中有 10 只手机，其中有 7 只是新的， 3 只是昍的，现从中不放回随机抽取，每次取一只．
（1）若共取两次，已知取出的手机中有一只是新手机，试求另一只也是新手机的概率；
（2）设 $X$ 为取到新手机时的抽取次数，试求数学期望 $E(X)$ ．

设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数 $f(x, y)= \begin{cases}6 \mathrm{e}^{-2 x-3 y}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases} Z=\max (X, Y)$ ，求：
（1）$Z$ 的分布函数；
（2）在 $X>x(x>0)$ 的条件下，$Z$ 的分布函数，即：$P(Z \leqslant z \mid X>x)$ ．

高校某课程考试，成绩分优秀、合格、不合格三种，优秀、合格、不合格的各得 3 分、 2 分、 1 分．根据以往统计，每批参加考试的学生中，优秀、合格、不合格的各占 $20 \% 、 70 \% 、 10 \%$ 。现有 100 位学生参加考试。
（1）试用切比雪夫不等式估计 100 位学生考试总分在 200 分至 220 分之间的概率；
（2）试用中心极限定理计算 100 位学生考试总分在 200 分至 220 分之间的概率．

设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(3 \theta+1) x^\theta, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 其中 $\theta>-1$是末知参数，设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的样本，试求 $\theta$ 的矩估计量与极大似然估计量．

已知 $\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2$ 是总体分布中参数 $\theta$ 的两个相互独立的无偏估计量，且 $D\left(\hat{\theta}_1\right)> 0, D\left(\hat{\theta}_2\right)=2 D\left(\hat{\theta}_1\right)$ ，求：
（1）$k_1, k_2$ 满足什么关系时，$k_1 \hat{\theta}_1+k_2 \hat{\theta}_2$ 是 $\theta$ 的无偏估计量；
（2）$k_1, k_2$ 取什么值时，可使形如 $k_1 \hat{\theta}_1+k_2 \hat{\theta}_2$ 的无偏估计最有效．

某种导线，为了使其电阻的标准差不得超过 0.005 （单位：$\Omega$ ），采用了新的生产工艺．今在生产的一批导线中抽取 22 根，测得样本标准差 0.007 ．设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，能认为这批导线在新的生产工艺下，电阻的标准差显著偏大吗？用假设检验的方法给出检验结论（显著性水平 $\alpha=0.05$ ）．

证明题

设 $A, B$ 为任意两个事件，证明：若 $P(B)>0$ ，则 $P(A \mid A \cup B) \geqslant P(A \mid B)$ ．