科数网-弧度制与三角函数基本概念

发布日期 2026/7/15 13:08:13 查看 5 加入组卷查看作者

单选题

若扇形的弧长是 8 ，面积是 16 ，则这个扇形的圆心角的弧度数是

$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ 5

集合 $\left\{\alpha \mid k \cdot 180^{\circ} \leq \alpha \leq k \cdot 180^{\circ}+45^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$ 中角表示的范围（用阴影表示）是图中的

$\text{A.}$

$\text{B.}$

$\text{C.}$

$\text{D.}$

已知 $\theta$ 是第一象限角，那么

$\text{A.}$ $\frac{\theta}{2}$ 是第一、二象限角 $\text{B.}$ $\frac{\theta}{2}$ 是第一、三象限角 $\text{C.}$ $\frac{\theta}{2}$ 是第三、四象限角 $\text{D.}$ $\frac{\theta}{2}$ 是第二、四象限角

如果角 $\alpha$ 的终边在直线 $y=2 x$ 上，则 $\frac{\sin \alpha+2 \cos \alpha}{3 \sin \alpha-\cos \alpha}=$

$\text{A.}$ $-\frac{4}{5}$ $\text{B.}$ $\frac{4}{5}$ $\text{C.}$ $-\frac{5}{4}$ $\text{D.}$ $\frac{5}{4}$

若 $|\cos \theta|=\cos \theta,|\tan \theta|=-\tan \theta$ ，则 $\frac{\theta}{2}$ 的终边在

$\text{A.}$ 第一、三象限 $\text{B.}$ 第二、四象限 $\text{C.}$ 第一、三象限或在 $x$ 轴的非负半轴上 $\text{D.}$ 第二、四象限或在 $x$ 轴上

中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为 $S_1$ ，其圆心角为 $\theta$ ，圆面中剩余部分的面积为 $S_2$ ，当 $S_1$ 与 $S_2$ 的比值为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 时，扇面为＂美观扇面＂，则下列结论错误的是（）（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

$\text{A.}$ $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\theta}{2 \pi-\theta}$ $\text{B.}$ 若 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$ ，扇形的半径 $R=3$ ，则 $S_1=3 \pi$ $\text{C.}$ 若扇面为＂美观扇面＂，则 $\theta \approx 138^{\circ}$ $\text{D.}$ 若扇面为＂美观扇面＂，扇形的半径 $R=20$ ，则此时的扇形面积为 $200(3-\sqrt{5})$

如图，已知圆锥的母线长为 2 ，底面半径为 $\frac{2}{3}$ ，一只蚂蚁从 $A$ 点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回 $A$ 点，则蚂蚁爬行的最短距离为

$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ $\sqrt{3}$ $\text{C.}$ $2 \sqrt{3}$ $\text{D.}$ 4

已知 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 是棱长为 1 的正方体，点 $P$ 为正方体表面上任一点，则下列说法不正确的是

$\text{A.}$ 若 $A P=1$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{3 \pi}{2}$ $\text{B.}$ 若 $A P=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{5 \sqrt{3} \pi}{6}$ $\text{C.}$ 若 $A P=\sqrt{2}$ ，则点 $P$ 的迹长度为 $\frac{3 \pi}{2}$ $\text{D.}$ 若 $A P=\frac{3}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{5} \pi}{4}$

多选题

下列结论正确的是

$\text{A.}$ $-\frac{7 \pi}{6}$ 是第三象限角 $\text{B.}$ 已知角 $\alpha$ 为第二象限角，且 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos \alpha=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ $\text{C.}$ 若圆心角为 $\frac{\pi}{3}$ 的扇形的弧长为 $\pi$ ，则该扇形面积为 $\frac{3 \pi}{2}$ $\text{D.}$ 终边经过点 $(m, m)(m>0)$ 的角的集合是 $\left\{\alpha \left\lvert\, \alpha=\frac{\pi}{4}+2 k \pi\right., k \in Z\right\}$

2023 年 1 月出版的《中国高考报告 2023 》中指出，高考数学试题将会全面的加入复杂情境，更加注重数学思维能力和思想方法的考察，考故难度加大。某教师从＂丢手绢＂游戏中抽象出以下数学问题，质点 $P$ 和 $Q$ 在以坐标原点 $O$ 为圆心，半径为 1 的 $\mathrm{e} O$ 上逆时针匀速圆周运动，同时出发，$P$ 的角速度大小为 $2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ ，起点为 $\mathrm{e} O$ 与 $x$ 轴正半轴的交点；$Q$ 的角速度大小为 $5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ ，起点为射线 $y=-\sqrt{3} x(x \geq 0)$ 与 $\mathrm{e} O$ 的交点，则当 $Q$ 与 $P$ 重合时，$Q$ 的坐标可以为

$\text{A.}$ $\left(\cos \frac{2 \pi}{9}, \sin \frac{2 \pi}{9}\right)$ $\text{B.}$ $\left(-\cos \frac{5 \pi}{9},-\sin \frac{5 \pi}{9}\right)$ $\text{C.}$ $\left(\cos \frac{\pi}{9},-\sin \frac{\pi}{9}\right)$ $\text{D.}$ $\left(-\cos \frac{\pi}{9}, \sin \frac{\pi}{9}\right)$

数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，＂勒洛四面体＂就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体 $A B C D$ 的棱长为 4 ，则下列结论正确的是

$\text{A.}$ 勒洛四面体 $A B C D$ 最大的截面是正三角形 $\text{B.}$ 勒洛四面体 $A B C D$ 的体积大于正四面体 $A B C D$ 的体积 $\text{C.}$ 勒洛四面体 $A B C D$ 被平面 $A B C$ 截得的截面面积是 $8(\pi-\sqrt{3})$ $\text{D.}$ 勒洛四面体 $A B C D$ 四个曲面所有交线长的和为 $8 \pi$

填空题

母线长为 10 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 $\frac{8 \pi}{5}$ ，则该圆锥的体积为 $\_\_\_\_$

已知 $\alpha$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴正半轴重合，点 $P(-4 m, 3 m)(m>0)$ 是 $\alpha$ 终边上一点，则 $2 \sin \alpha+\cos \alpha$ 等于

解答题

已知角 $\theta$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点 $P(x, y)$ ，若点 $P$ 位于 $x$ 轴上方且 $x+y=\frac{1}{2}$ ．
（1）求 $\sin \theta-\cos \theta$ 的值；
（2）求 $\sin ^4 \theta+\cos ^4 \theta$ 的值．