科数网-一维随机变量及其分布

发布日期 2026/7/15 12:25:40 查看 3 加入组卷查看作者

单选题

$F(x)$ 为随机变量 $X$ 的分布函数，则下列仍为分布函数的是 $\_\_\_\_$

$\text{A.}$ $F(2 x-1)$ $\text{B.}$ $F(1-x)$ $\text{C.}$ $F\left(x^2\right)$ $\text{D.}$ $1-F(-x)$

设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 分别为随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的分布函数．为使 $F(x)=a F_1(x)- b F_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取

$\text{A.}$ $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{2}{5}$ ． $\text{B.}$ $a=\frac{2}{3}, b=\frac{2}{3}$ ． $\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{3}{2}$ ． $\text{D.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$ ．

设离散型随机变量 $X$ 服从分布律 $P\{X=k\}=\frac{C}{k!}, k=0,1,2, \cdots$ 则常数 $C$ 必为

$\text{A.}$ 1 ． $\text{B.}$ e ． $\text{C.}$ $\mathrm{e}^{-1}$ ． $\text{D.}$ $\mathrm{e}^{-2}$ ．

设 $X$ 是离散型随机变量，其分布律为 $P(X=k)=b \lambda^k(k=1,2, \cdots)$ 且 $b>0$ 为常数，则 $\lambda$ 为

$\text{A.}$ $\lambda>0$ 的任意实数． $\text{B.}$ $\lambda=b+1$ ． $\text{C.}$ $\lambda=\frac{1}{b+1}$ ． $\text{D.}$ $\lambda=\frac{1}{b-1}$ ．

某电子元件的寿命 $X$（单位：小时）的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1000}{x^2}, & x>1000, \\ 0, & x \leqslant 1000,\end{array}\right.$ 某系统上装有这种电子元件 5 个，则在开始使用 1500 小时内正好有 2 个元件需要更换的概率为

$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$ ． $\text{B.}$ $\frac{40}{243}$ ． $\text{C.}$ $\frac{80}{243}$ ． $\text{D.}$ $\frac{2}{3}$ ．

设 $F_1(x), F_2(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是

$\text{A.}$ $f_1(x) f_2(x)$ ． $\text{B.}$ $2 f_2(x) F_1(x)$ ． $\text{C.}$ $f_1(x) F_2(x)$ ． $\text{D.}$ $f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x)$ ．

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(1, \sigma^2\right)$ ，其分布函数为 $F(x)$ ，则对任意实数 $x$ ，有

$\text{A.}$ $F(x)+F(-x)=1$ ． $\text{B.}$ $F(1+x)+F(1-x)=1$ ． $\text{C.}$ $F(x+1)+F(x-1)=1$ ． $\text{D.}$ $F(1-x)+F(x-1)=1$ ．

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$ ，数 $u_a$ 满足 $P\left\{X>u_a\right\}=\alpha$ ，若 $P\{|X| < x\}=\alpha$ ，则 $x$ 等于

$\text{A.}$ $u_{\frac{\alpha}{2}}$ ． $\text{B.}$ $u_{1-\frac{a}{2}}$ ． $\text{C.}$ $u \frac{1-a}{2}$ ． $\text{D.}$ $u_{1-\alpha} \cdot$

填空题

若某随机变量的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}a+b e^{-3 x}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$

设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & 0 \leq x < 1 \\ 1-e^{-x}, & x \geq 1\end{array}\right.$ ，则 $P\{X=1\}=$

袋中有 8 个球，其中 3 个白球 5 个黑球，现随意从中取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止．否则将 4 个球放回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2 个白球 2 个黑球为止．用 $X$ 表示抽取次数，则 $P(X=k)=$ $\_\_\_\_$ $(k=1,2$, …）．

设随机变量 $X$ 服从参数为 $(2, p)$ 的二项分布，随机变量 $Y$ 服从参数为 $(3, p)$ 的二项分布．若 $P\{X \geqslant 1\}=\frac{5}{9}$ ，则 $P\{Y \geqslant 1\}=$ $\_\_\_\_$ ．

设随机变量 $X$ 服从均值为 2 ，方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，且 $P\{2 < X < 4\}=0.3$ ，则 $P\{X < 0\}=$

设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，其分布函数为 $F(x)$ ，则有 $F(\mu+x \sigma)+ F(\mu-x \sigma)=$

设随机变量 $X \sim N\left(3,2^2\right)$ ，且 $P(X>C)=P(X \leqslant C)$ ，则 $C=$

解答题

设随机变量 $X$ 的分布律为

求 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ，并求 $P\left\{\frac{3}{2} < X \leq \frac{5}{2}\right\}, P\{2 \leq X \leq 3\}$ ．

一袋中有 5 只乒乓球，编号为 $1 、 2 、 3 、 4 、 5$ ，在其中同时取三只，以 $X$ 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 $X$ 的分布律．

已知随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=0.2, P\{X=2\}=0.3, P\{X=3\}=$ 0.5 ，试写出 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 。

某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，概率密度为

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{600} \mathrm{e}^{-\frac{x}{600}}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0 .\end{cases}
$$

试求：在仪器使用的最初 200 小时内，至少有一只电子元件损坏的概率 $\alpha$ ．

某地抽样调査结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 72 分， 96 分以上的占考生总数的 $2.3 \%$ ，试求考生的外语成绩在 60 分至 84分之间的概率。
【附表】（表中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数）

假设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的指数分布．证明：$Y=1-\mathrm{e}^{-2 X}$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布．

假设一大型设备在任何长为 $t$ 的时间内发生故障的次数 $N(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布．
（I）求相继两次故障之间时间间隔 $T$ 的概率分布；
（II）求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 $Q$ ．

现有 500 人检查身体，初步发现有 50 人患有某种病，从中任找出 10 人，求下列事件的概率：
（1）恰有 1 人患此病；
（2）最多有 1 人患此病；
（3）至少有 1 人患此病．

设打一次电话所用时间 $X$（分钟）服从参数 $\lambda=0.1$ 的指数分布．如某人刚好在你前面走进电话间，求你等待的时间：
（1）超过 10 分钟的概率；
（2）在 10 分钟到 20 分钟之间的概率．

一本 500 页的书，共有 500 个错字，每个错字等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过 500 个），试求在给定的一页上至少有三个错字的概率．