科数网-函数模型应用题(指数对数模型等)

发布日期 2026/7/14 14:43:12 查看 5 加入组卷查看作者

单选题

生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断。已知水中某生物体内抗生素的残留量 $y$（单位： mg ）与时间 $t$（单位：年）近似满足关系式 $y=\lambda\left(1-3^{-\lambda t}\right)(\lambda \neq 0)$ ，其中 $\lambda$ 为抗生素的残留系数，当 $t=8$ 时，$y=\frac{8}{9} \lambda$ ，则 $\lambda=()$

$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $\frac{1}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{2}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{4}$

英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是 $\theta_1$ ，环境温度是 $\theta_0$ ，则经过 $t \min$ 物体的温度 $\theta$ 将满足 $\theta=\theta_0+\left(\theta_1-\theta_0\right) \mathrm{e}^{-\lambda t}$ ，其中 $k$ 是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有 $90^{\circ} \mathrm{C}$ 的物体，若放在 $10^{\circ} \mathrm{C}$ 的空气中冷却，经过 10 min 物体的温度为 $50^{\circ} \mathrm{C}$ ，则若使物体的温度为 $20^{\circ} \mathrm{C}$ ，需要冷却

$\text{A.}$ 17.5 min $\text{B.}$ 25.5 min $\text{C.}$ 30 min $\text{D.}$ 32.5 min

2023年1月底，人工智能研究公司 OpenAI 发布的名为＂ChatGPT＂的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 $L=L_0 D^{\frac{G}{G_0}}$ ，其中 $L$ 表示每一轮优化时使用的学习率，$L_0$ 表示初始学习率，$D$ 表示衰减系数，$G$ 表示训练迭代轮数，$G_0$ 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.8 ，衰减速度为 12 ，且当训练迭代轮数为 12 时，学习率衰减为 0.5 ．则学习率衰减到 0.4 以下（不含 0.4 ）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ）（）

$\text{A.}$ 16 $\text{B.}$ 17 $\text{C.}$ 18 $\text{D.}$ 19

2022年6月5日上午10时 44 分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号 F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和 3 名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启。火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级 $d(x)$（单位： dB ）与声强 $x$（单位： $\mathrm{W} / \mathrm{m}^2$ ）满足 $d(x)=10 \lg \frac{x}{10^{-12}}$ ．若人交谈时的声强级约为 50 dB ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为 $10^9$ ，则火箭发射时的声强级约为（）

$\text{A.}$ 130 dB $\text{B.}$ 140 dB $\text{C.}$ 150 dB $\text{D.}$ 160 dB

地震震级是对地震本身能量大小的相对量度，用 $M$ 表示，$M$ 可通过地震面波质点运动最大值 $(A / T)_{\text {max }}$ 进行测定，计算公式如下：$M=\lg (A / T)_{\text {max }}+1.66 \lg \Delta+3.5$（其中 $\Delta$ 为震中距）．若某地发生 6.0 级地震，测得 $(A / T)_{\text {max }}=0.001$ ，则可以判断（）．参考数据： $2^{0.313} \approx 1.24,5^{0.313} \approx 1.65$ ．

$\text{A.}$ 震中距在 2000～2020 之间 $\text{B.}$ 震中距在 2040～2060 之间 $\text{C.}$ 震中距在 2070～2090之间 $\text{D.}$ 震中距在 1040～1060 之间

酒驾是严重危害交通安全的违法行为。为了保障交通安全，根据国家有关规定： 100 mL 血液中酒精含量达到 $20^{\sim} 79 \mathrm{mg}$ 的驾驶员即为酒后驾车， 80 mg 及以上认定为醉酒驾车。假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了 $1 \mathrm{mg} / \mathrm{mL}$ ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 $20 \%$ 的速度减少，那他至少经过（）小时才能驾驶．（参考数据 $\lg 2 \approx 0.301$ ）

$\text{A.}$ 5 $\text{B.}$ 6 $\text{C.}$ 7 $\text{D.}$ 8

在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数。当基本传染数高于 1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长。当基本传染数持续低于 1 时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为 $R_0$ ， 1 个感染者在每个传染期会接触到 $N$ 个新人，这 $N$ 人中有 $V$ 个人接种过疫苗（ $\frac{V}{N}$ 称为接种率），那么 1 个感染者新的传染人数为 $\frac{R_0}{N}(N-V)$ 。已知新冠病毒在某地的基本传染数 $R_0=2.5$ ，为了使 1 个感染者传染人数不超过 1 ，该地疫苗的接种率至少为（）

$\text{A.}$ $40 \%$ $\text{B.}$ $50 \%$ $\text{C.}$ $60 \%$ $\text{D.}$ $70 \%$

已知一种放射性元素最初的质量是 500 g ，按每年 $10 \%$ 衰减，则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（）（已知 $\lg 2=0.3010, \lg 3=0.4771$ ，结果精确到 0.1 ）

$\text{A.}$ 7.6 年 $\text{B.}$ 7.8 年 $\text{C.}$ 6.2 年 $\text{D.}$ 6.6 年

Malthus 模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量 $N(t)$ 与时间 $t$ 关系时，得到的 Malthus 模型是 $N(t)=N_0 \mathrm{e}^{0.46 t}$ ，其中 $N_0$ 是 $t=t_0$ 时刻的细菌数量，e 为自然对数的底数．若 $t$ 时刻细菌数量是 $t_0$ 时刻细菌数量的 6.3 倍，则 $t$ 约为．$(\ln 6.3 \approx 1.84)$

$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ 5

大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ）可以表示为 $v=\frac{1}{2} \log _3 \frac{Q}{100}$ ，其中 $Q$ 表示鲑鱼的耗氧量。则鲑鱼以 $0.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（）

$\text{A.}$ 3 $\text{B.}$ 27 $\text{C.}$ 300 $\text{D.}$ 2700

等额分付资本回收是指起初投资 $P$ ，在利率 $i$ ，回收周期数 $n$ 为定值的情况下，每期期末取出的资金 $A$ 为多少时，才能在第 $n$ 期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：$A=P \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$ ．某农业种植公司投资 33 万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为 $10 \%$ ，若每年年底回笼资金 8.25 万元，则该公司将至少在（）年内能全部收回本利和．$(\lg 11 \approx 1.04, \lg 5 \approx 0.70, \lg 3 \approx 0.48)$

$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ 5 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ 7

如图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为 $\alpha$（单位： mm ）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为 $\beta$（单位： mm ）．若 $\alpha=10, \beta=5$ ，每对轧辊的减薄率 $r$ 不超过 $4 \%$ ，则冷车机至少需要安装轧辊的对数为（）（一对轧辊减薄率 $r=\frac{\alpha-\beta}{\alpha} \times 100 \%, \lg 2=0.3010, \lg 3=0.4771$ ）

$\text{A.}$ 14 $\text{B.}$ 15 $\text{C.}$ 16 $\text{D.}$ 17

基本再生数 $R_0$ 与世代间隔 $T$ 是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：$I(t)=\mathrm{e}^{r t}$ 描述累计感染病例数 $I(t)$ 随时间 $t$（单位：天）的变化规律，指数增长率 $r$ 与 $R_O, T$ 近似满足 $R_O=1+r T$ ．有学者基于已有数据估计出 $R_0=3.28, T=6$ ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 $(\ln 2 \approx 0.69)$

$\text{A.}$ 1.2 天 $\text{B.}$ 1.8 天 $\text{C.}$ 2.5 天 $\text{D.}$ 3.5 天

多选题

预测人口的变化趋势有多种方法，＂直接推算法＂使用的公式是 $P_n=P_0(1+k)^n(k>-1)$ ，其中 $P_n$ 为预测期人口数，$P_0$ 为初期人口数，$k$ 为预测期内人口年增长率，$n$ 为预测期间隔年数，则（）

$\text{A.}$ 当 $k \in(-1,0)$ ，则这期间人口数呈下降趋势 $\text{B.}$ 当 $k \in(-1,0)$ ，则这期间人口数呈摆动变化 $\text{C.}$ 当 $k=\frac{1}{3}, P_n \geq 2 P_0$ 时，$n$ 的最小值为 3 $\text{D.}$ 当 $k=-\frac{1}{3}, P_n \leq \frac{1}{2} P_0$ 时，$n$ 的最小值为 3