科数网-对数与对数函数

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科数网-对数与对数函数

发布日期 2026/7/12 15:53:06 查看 7 加入组卷查看作者

单选题

化简 $\left(2 \log _4 3+\log _8 3\right)\left(\log _3 2+\log _9 2\right)$ 的值为

$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ 6

已知 $2^a=5, \log _8 3=b$ ，则 $4^{a-3 b}=$

$\text{A.}$ 25 $\text{B.}$ 5 $\text{C.}$ $\frac{25}{9}$ $\text{D.}$ $\frac{5}{3}$

若 $2^m=3^n=k$ 且 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2$ ，则 $k=$

$\text{A.}$ $\sqrt{5}$ $\text{B.}$ $\sqrt{6}$ $\text{C.}$ 5 $\text{D.}$ 6

已知函数 $y=\log _a(x+c)(a, c$ 是常数，其中 $a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的大致图象如图所示，下列关于 $a, c$ 的表述正确的是

$\text{A.}$ $a>1, c>1$ $\text{B.}$ $a>1,0 < c < 1$ $\text{C.}$ $0 < a < 1, c>1$ $\text{D.}$ $0 < a < 1, \quad 0 < c < 1$

下列函数中，其图像与函数 $y=\ln x$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称的是

$\text{A.}$ $y=\ln (1-x)$ $\text{B.}$ $y=\ln (2-x)$ $\text{C.}$ $y=\ln (1+x)$ $\text{D.}$ $y=\ln (2+x)$

函数 $f(x)=\log _2 2 x$ 与 $g(x)=2-\left(\frac{1}{2}\right)^x$ 在同一直角坐标系下的图象大致是

$\text{A.}$

$\text{B.}$

$\text{C.}$

$\text{D.}$

设函数 $f(x)=\ln |2 x+1|-\ln |2 x-1|$ ，则 $f(x) ~(\quad)$

$\text{A.}$ 是偶函数，且在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 单调递增 $\text{B.}$ 是奇函数，且在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 单调递减 $\text{C.}$ 是偶函数，且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递增 $\text{D.}$ 是奇函数，且在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递减

若函数 $f(x)=\log _a x(0 < a < 1)$ ，在区间 $[a, 2 a]$ 上的最大值是最小值的 3 倍，则 $a$ 等于

$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$

若函数 $f(x)=\log _a\left(-3 x^2+4 a x-1\right)$ 有最小值，则实数 $a$ 的取值范围是

$\text{A.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$ $\text{B.}$ $(1, \sqrt{3})$ $\text{C.}$ $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $\text{D.}$ $(\sqrt{3},+\infty)$

设 $a=\log _2 0.3, b=\log _{\frac{1}{2}} 0.4, c=0.4^{0.3}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为

$\text{A.}$ $a < b < c$ $\text{B.}$ $c < a < b$ $\text{C.}$ $b < c < a$ $\text{D.}$ $a < c < b$

设 $a=2 \ln 1.01, b=\ln 1.02, c=\sqrt{1.04}-1$ ．则

$\text{A.}$ $a < b < c$ $\text{B.}$ $b < c < a$ $\text{C.}$ $b < a < c$ $\text{D.}$ $c < a < b$

已知 $x=\ln 1.1^{-1}, y=\log _{1.1} 1.2, z=2^{1.1}$ ，则三者的大小关系是

$\text{A.}$ $y < x < z$ $\text{B.}$ $z < y < x$ $\text{C.}$ $x < y < z$ $\text{D.}$ $x < z < y$

已知 $a=\log _7 5, b=\log _9 7, c=\log _{11} 9$ ，则

$\text{A.}$ $a < b < c$ $\text{B.}$ $a < c < b$ $\text{C.}$ $b < a < c$ $\text{D.}$ $c < b < a$

已知 $a=\sin 2, b=\ln 2, c=2^{-\frac{1}{3}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

$\text{A.}$ $c < b < a$ $\text{B.}$ $a < b < c$ $\text{C.}$ $b < a < c$ $\text{D.}$ $b < c < a$

设 $a=\ln 0.2, b=0.2^{\mathrm{e}}, c=\mathrm{e}^{0.2}$ ，则

$\text{A.}$ $a < b < c$ $\text{B.}$ $a < c < b$ $\text{C.}$ $c < b < a$ $\text{D.}$ $b < c < a$

设 $a=\frac{1}{\mathrm{e}^{0.6}}, b=0.4, c=\frac{\ln 1.4}{1.4}$ ，则

$\text{A.}$ $a < b < c$ $\text{B.}$ $c < b < a$ $\text{C.}$ $b < c < a$ $\text{D.}$ $c < a < b$

若 $2^a=5^b=10$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=()$

$\text{A.}$ -1 $\text{B.}$ $\lg 7$ $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ $\log _7 10$

已知 $5^5 < 8^4, 13^4 < 8^5$ ．设 $a=\log _5 3, b=\log _8 5, c=\log _{13} 8$ ，则

$\text{A.}$ $a < b < c$ $\text{B.}$ $b < a < c$ $\text{C.}$ $b < c < a$ $\text{D.}$ $c < a < b$

多选题

已知 $a, b \in \mathrm{R}$ ，满足 $\mathrm{e}^a+\mathrm{e}^b=4$ ，则（）

$\text{A.}$ $a+b \leq 2 \ln 2$ $\text{B.}$ $\mathrm{e}^a+b \leq 3$ $\text{C.}$ $a b \geq 1$ $\text{D.}$ $\mathrm{e}^{2 a}+\mathrm{e}^{2 b} \geq 8$

信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $1,2, ..., n$ ，且 $P(X=i)=p_i>0(i= 1,2, \cdots, n), \sum_{i=1}^n p_i=1$ ，定义 $X$ 的信息熵 $H(X)=-\sum_{i=1}^n p_i \log _2 p_i$ 。

$\text{A.}$ 若 $n=1$ ，则 $H(X)=0$ $\text{B.}$ 若 $n=2$ ，则 $H(X)$ 随着 $p_1$ 的增大而增大 $\text{C.}$ 若 $p_i=\frac{1}{n}(i=1,2, \mathrm{~L}, n)$ ，则 $H(X)$ 随着 $n$ 的增大而增大 $\text{D.}$ 若 $n=2 m$ ，随机变量 $Y$ 所有可能的取值为 $1,2, \mathrm{~L}, m$ ，且 $P(Y=j)=p_j+p_{2 m+1-j}(j=1,2, \cdots, m)$ ，则 $H(X) \leq H(Y)$

填空题

函数 $y=\log _2 \frac{2 x-1}{3-x}$ 的定义域为

已知函数 $f(x)=\ln \left(\sqrt{x^2+1}-a x\right)$ 为 $\mathbf{R}$ 上单调递减的奇函数，则实数 $a$ 的值为

若 $f(x)=\ln \left|a+\frac{1}{1-x}\right|+b$ 是奇函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

设 $a \in(0,1)$ ，若函数 $f(x)=a^x+(1+a)^x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是