科数网-多元随机变量及其分布

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科数网-多元随机变量及其分布

发布日期 2026/7/10 21:27:52 查看 10 加入组卷查看作者

单选题

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，其概率分布为

则下列式子正确的是

$\text{A.}$ $X=Y$ ． $\text{B.}$ $P\{X=Y\}=0$ ． $\text{C.}$ $P\{X=Y\}=\frac{1}{2}$ ． $\text{D.}$ $P\{X=Y\}=1$ ．

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X$ 和 $Y$ 的概率分布分别为

则 $P\{X+Y=2\}=$

$\text{A.}$ $\frac{1}{12}$ ． $\text{B.}$ $\frac{1}{8}$ ． $\text{C.}$ $\frac{1}{6}$ ． $\text{D.}$ $\frac{1}{2}$ ．

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布，则 $P\left\{X^2+Y^2\right. \leqslant 1\}=$

$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$ ． $\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ ． $\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$ ． $\text{D.}$ $\frac{\pi}{4}$ ．

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则

$$
P\{X < Y\}=
$$

$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$ ． $\text{B.}$ $\frac{1}{3}$ ． $\text{C.}$ $\frac{2}{5}$ ． $\text{D.}$ $\frac{4}{5}$ ．

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ，则 $Z=X+Y$服从

$\text{A.}$ $Z \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2+\sigma_2^2\right)$ ． $\text{B.}$ $Z \sim N\left(\mu_1+\mu_2, \sigma_1 \sigma_2\right)$ ． $\text{C.}$ $Z \sim N\left(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2 \sigma_2^2\right)$ ． $\text{D.}$ $Z \sim N\left(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2\right)$ ．

填空题

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从标准正态分布，其分布函数为 $\Phi(x), Y$的概率分布为 $P\{Y=-1\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2}$ ，则随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数 $F(x)=$

解答题

甲乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2 ，乙的为 0.5 ，以 $X$ 和 $Y$分别表示甲和乙的命中次数，试求 $X$ 和 $Y$ 的联合概率分布．

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回地从袋中取两次，每次取一个球．以 $X 、 Y 、 Z$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．
（I）求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；
（II）求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布．

已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度为

$$
f(x, y)= \begin{cases}4 x y, & 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$

求 $X$ 和 $Y$ 联合分布函数 $F(x, y)$ ．

设 $(X, Y)$ 服从 $D$ 上的均匀分布，其中 $D$ 为 $x$ 轴，$y$ 轴及直线 $y=2 x+1$ 所围的三角形区域，试求：
（I）$(X, Y)$ 的概率密度函数；
（II）$(X, Y)$ 的分布函数．

设二维随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度 $f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-(2 x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
（1）求分布函数 $F(x, y)$ ；
（2）求概率 $P\{Y \leq X\}$ ．

已知随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
e^{-y}, & 0 < x < y \\
0, & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$

（1）求 $(X, Y)$ 的联合分布函数
（2）求 $P\{X+Y \leq 1\}$

设二维随机变亘 $(X, Y)$ 的密度函数为：

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
c y(1-x-y), & x>0, y>0, x+y < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$

求（1）常数 $c$ ；
（2）条件密度函数 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．

假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，如果 $X$ 服从标准正态分布，$Y$ 的概率分布为

$$
P\{Y=-1\}=\frac{1}{4}, \quad P\{Y=1\}=\frac{3}{4}
$$

求 $Z=|X-Y|$ 的概率密度 $f_Z(z)$ ．

设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq x \leq 3-y, y \leq 1\}$ 上服从均匀分布，求边缘密度 $f_X(x)$ 及在 $X=x$ 条件下，关于 $Y$ 的条件概率密度．

设随机变量 $(\xi, \eta)$ 的概率分布为

试求：（I）$P(\xi=2 \mid \eta=2), P(\eta=3 \mid \xi=0)$ ；
（II）$V=\max \{\xi, \eta\}$ 的分布律；
（III）$U=\min \{\xi, \eta\}$ 的分布律；
（IV）$W=V+U$ 的分布律．

设随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为

$$
f(x, y)= \begin{cases}x^2+\frac{1}{3} x y, & 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

试求：
（I）$(X, Y)$ 的联合分布函数；
（II）边缘概率密度 $f_X(x)$ 与 $f_Y(y)$ ；
（III）条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ 与 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ；
（IV）$P(X+Y>1), P(Y>X)$ 及 $P\left(\left.Y < \frac{1}{2} \right\rvert\, X < \frac{1}{2}\right)$ ．

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立，且 $X$ 服从均值为 1 ，标准差（均方差）为 $\sqrt{2}$ 的正态分布，而 $Y$ 服从标准正态分布．试求随机变量 $Z=2 X-Y+3$ 的概率密度函数．

设随机变量 $X, Y$ 相互独立，其概率密度函数分别为

$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}
1,0 \leq x \leq 1 \\
0, \text { 其他 }
\end{array}, f_Y(y)=\left\{\begin{array}{l}
e^{-y}, y>0 \\
0, y \leq 0 .
\end{array}\right.\right.
$$

求随机变量 $Z=2 X+Y$ 的概率密度函数．

假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，如果 $X$ 服从标准正态分布，$Y$ 的概率分布为

$$
P\{Y=-1\}=\frac{1}{4}, \quad P\{Y=1\}=\frac{3}{4}
$$

求 $Z=X Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$

在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的．其一是紧固 3 只螺栓，其二是焊接 2 处焊点．以 $X$ 表示螺栓紧固得不良的数目，以 $Y$ 表示由机器人焊接的不良焊点的数目．据积累的资料知 $(X, Y)$ 具有分布律：

（1）求在 $X=1$ 条件下，$Y$ 的条件分布律；
（2）求在 $Y=0$ 条件下，$X$ 的条件分布律．