科数网-随机变量的数字特征与性质

发布日期 2026/7/9 11:33:23 查看 5 加入组卷查看作者

单选题

设 $X$ 是一随机变量，$E(X)=\mu, D(X)=\sigma^2(\mu, \sigma>0$ ，且为常数），则对任意常数 $c$ ，必有

$\text{A.}$ $E(X-c)^2=E\left(X^2\right)-c^2$ ． $\text{B.}$ $E(X-c)^2=E(X-\mu)^2$ ． $\text{C.}$ $E(X-c)^2 < E(X-\mu)^2$ ． $\text{D.}$ $E(X-c)^2 \geqslant E(X-\mu)^2$ ．

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，记 $U=X-Y, V=X+Y$ ，则随机变量 $U$ 与 $V$ 必然

$\text{A.}$ 不独立． $\text{B.}$ 独立． $\text{C.}$ 相关系数不为零。 $\text{D.}$ 相关系数为零。

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从正态分布，且它们不相关，则

$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$－定独立． $\text{B.}$ $(X, Y)$ 服从二维正态分布． $\text{C.}$ $X$ 与 $Y$ 未必独立． $\text{D.}$ $X+Y$ 服从一维正态分布．

已知随机变量 $X$ 服从标准正态分布，$Y=2 X^2+X+3$ ，则 $X$ 与 $Y$

$\text{A.}$ 不相关且相互独立． $\text{B.}$ 不相关且不相互独立． $\text{C.}$ 相关且相互独立． $\text{D.}$ 相关且不相互独立．

填空题

某医院当新生儿诞生时，医生要根据婴儿的皮肤颜色、肌肉弹性、反应的敏感性、心脏的搏动等方面的情况进行评分，新生儿的得分 $X$ 是一个随机变量．据以往的资料表明 $X$ 的分布律为

试求 $X$ 的数学期望 $E X$ ．

设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2 x^3 y^2}, & \frac{1}{x} < y < x, x>1 \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ ，求数学期望 $E(Y), E\left(\frac{1}{X Y}\right)$ ．

设随机变量 $X_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n ; n \geqslant 2)$ 独立同分布，$E\left(X_{i j}\right)=2$ ，则行列式

$$
Y=\left|\begin{array}{cccc}
X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1 n} \\
X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
X_{n 1} & X_{n 2} & \cdots & X_{n n}
\end{array}\right|
$$

的数学期望 $E(Y)=$

设随机变进 $X$ 和 $Y$ 均服从 $B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，且 $D(X+Y)=1$ ，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho=$

设随机变诅 $X$ 和 $Y$ 的相关系数为 0.9 ，者 $Z=X-0.4$ ，则 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数

解答题

按规定，某车站每天 8：00～9：00 和 9：00～10：00 之间都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为：

一旅客 8：20 到车站，求他候车时间的数学期望．

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}e^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{cases}$

求（1）$Y=2 X$ 的数学期望
（2）$Y=e^{-2 X}$ 的数学期望．

设随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度

$$
f(x, y)=\frac{1}{8}(x+y) \quad 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2
$$

求 $D X 、 D Y$ ．

设随机变量 $X$ 服从指数分布，其概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，其中 $\theta>0$ 是常数，求 $E(X), D(X)$

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立同分布，且 $X$ 的概率分布为

，记 $U=\max \{X, Y\}$ ， $V=\min \{X, Y\}$ ，试求
（1）$(U, V)$ 的概率分布；
（2）$E(U V)$ ；
（3）$\rho_{u v}$

设随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度。

$$
f(x, y)=\frac{1}{8}(x+y) \quad 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2
$$

求 $\operatorname{cov}(X, Y), \rho_{X Y}, D(X+Y)$

设试验成功的概率为 $\frac{3}{4}$ ，失败的概率为 $\frac{1}{4}$ ，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为

若 $X \sim E(\lambda)$ ，求 $D X$ ．

假设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的数学期望都等于 1 ，方差都等于 2 ，其相关系数为 0.25 ，求随机变量 $U=X+2 Y$ 和 $V=X-2 Y$ 的相关系数 $\rho$ ．

已知随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=0.2, P\{X=2\}=0.3, P\{X=3\}=$ 0.5 ，试写出 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ，并求 $X$ 的数学期望与方差．

设 $X$ 与 $Y$ 独立且均服从 $N(0,1)$ ，求 $Z=\sqrt{X^2+Y^2}$ 的数学期望与方差．

设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D: 0 < x < 1,|y| < x$ （如图）内服从均匀分布，求关于 $X$ 的边缘概率密度函数及随机变量 $Z=2 X+1$ 的方差 $D(Z)$ 。

假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2 ，机器发生故障时全天停止工作，若一周 5 个工作日里无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获得利润 5万元；发生两次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元．求一周内期望利润是多少？