科数网-大数定律与中心极限定理

发布日期 2026/7/8 10:20:43 查看 4 加入组卷查看作者

单选题

设 $X, Y$ 为随机变量，数学期望都是 2 ，方差分别为 1 和 4 ，相关系数为 0.5 ，试用切比雪夫不等式估计概率 $P\{|X-Y| \geq 6\}$

$\text{A.}$ $\text{B.}$ $\text{C.}$ $\text{D.}$

设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，$S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ 则根据列维一林德柏格（Levy－Lindberg）中心极限定理，当 $n$ 充分大时，$S_n$ 近似服从正态分布，只要 $X_1, X_2, \cdots, X_n$

$\text{A.}$ 有相同的数学期望． $\text{B.}$ 有相同的方差． $\text{C.}$ 服从同一指数分布． $\text{D.}$ 服从同一离散型分布．

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为 $\lambda(\lambda>1)$的指数分布，记 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则

$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\lambda \sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． $\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． $\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． $\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-\lambda}{\sqrt{n} \lambda} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．

已知随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立且都在 $(-1,1)$ 上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i \leqslant \sqrt{n}\right\}=$

$\text{A.}$ $\Phi(0)$ ． $\text{B.}$ $\Phi(1)$ ． $\text{C.}$ $\Phi(\sqrt{3})$ ． $\text{D.}$ $\Phi(2)$ ．

设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立，且 $X_i$ 都服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的指数分布，则当 $n$充分大时，随机变量 $Z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 的概率分布近似服从．

$\text{A.}$ $N(2,4)$ $\text{B.}$ $N\left(2, \frac{4}{n}\right)$ $\text{C.}$ $N\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4 n}\right)$ $\text{D.}$ $N(2 n, 4 n)$

填空题

设随机变量 $X$ 的方差为 2 ，则根据切比雪夫不等式估计

$$
P\{|X-E X| \geq 2\} \leq
$$

设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立，且均服从 $(a, b)$ 上的均匀分布，平均值 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$ 依概率收敛到

设随机变䡒 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，且 $E\left(X_k\right)=0, D\left(X_k\right)=\sigma^2, k=1,2, \cdots$ ，则 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k{ }^2$ 依概率收敛到

设随机变量序列 $X_1, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，记 $Y_n=X_{2 n}-X_{2 n-1}$ ，则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i^2$ 依概率收敛于

设随机变量 $X, Y$ 的数学期望分别为 -2 和 2 ，方差分别为 1 和 4 ，而相关系数为 -0.5 ．则根据切比雪夫不等式 $P\{|X+Y| \geqslant 6\} \leqslant$

将一个骰子重复掷 $n$ 次，各次郑出的点数依次为 $X_1, \cdots, X_n$ ．则当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 依概率收敛于

设随机变量 $X$ 的数学期望 $E X=\mu$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，则由切比雪夫不等式，有 $P\{|X-\mu| \geqslant 3 \sigma\} \leqslant$

解答题

对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量．设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为 $0.05,0.8,0.15$ ．若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布．
（1）求参加会议的家长数 $X$ 超过 450 的概率；
（2）求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率．

有一批建筑房屋用的木桩，其中 $80 \%$ 的长度不小于 3 米。先从这批木桩中随机地取出 100 根，问其中至少有 30 根短于 3 米的概率是多少？

将一颗邪子连续重复掷 4 次，以 $X$ 表示 4 次掷出的点数之和，根据切比雪夫不等式

$$
P\{10 < X < 18\} \geq
$$

某保险公司接受了 10000 辆电动自行车的保险，每辆每年的保费为 12 元．若车丢失，则车主得赔偿 1000 元．假设年的丢失率为 0.006 ，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：
（1）亏损的概率 $\alpha$ ；
（2）一年获利润不少于 40000 元的概率 $\beta$ ；
（3）一年获利润不少于 60000 元的概率 $\gamma$ ．

一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克．若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 $0.977(\Phi(2)=0.977$ ，其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数）．

某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 $20 \%$ ，以 $X$ 表示在随意抽査的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．
（I）写出 $X$ 的概率分布；
（II）利用棣莫弗一拉普拉斯定理，求出被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值．
（附表）$\Phi(x)$ 是标准正态分布函数．

已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是 7300 ，均方差是 700 ，利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在 $5200 \sim 9400$ 之间的概率 $p$ 。