科数网-不等式训练

发布日期 2026/7/6 10:12:13 查看 6 加入组卷查看作者

单选题

下列函数中最小值为 4 的是

$\text{A.}$ $y=x^2+2 x+4$ $\text{B.}$ $y=|\sin x|+\frac{4}{|\sin x|}$ $\text{C.}$ $y=2^x+2^{2-x}$ $\text{D.}$ $y=\ln x+\frac{4}{\ln x}$

已知 $F_1, F_2$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，则 $\left|M F_1\right| \cdot\left|M F_2\right|$ 的最大值为

$\text{A.}$ 13 $\text{B.}$ 12 $\text{C.}$ 9 $\text{D.}$ 6

已知实数 $x$ 满足 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，则 $y=8 x+\frac{1}{2 x-1}$ 的最大值为

$\text{A.}$ -4 $\text{B.}$ 0 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ 8

当 $x>0$ 时，函数 $y=\frac{3+x+x^2}{1+x}$ 的最小值为

$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}$ $\text{B.}$ $2 \sqrt{3}-1$ $\text{C.}$ $2 \sqrt{3}+1$ $\text{D.}$ 4

已知 $0 < x < 2$ ，则 $y=x \sqrt{4-x^2}$ 的最大值为

$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 4 $\text{C.}$ 5 $\text{D.}$ 6

若 $x>4, y>1$ ，且 $x y=12+x+4 y$ ，则 $x+y$ 的最小值是

$\text{A.}$ 5 $\text{B.}$ 8 $\text{C.}$ 13 $\text{D.}$ 16

已知函数 $f(x)=\log _2(a x+b)(a>0, b>0)$ 恒过定点 $(2,0)$ ，则 $\frac{\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}}+\frac{\mathbf{1}}{\boldsymbol{b}}$ 的最小值为．

$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}+1$ $\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$ $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ $\sqrt{2}+2$

已知实数 $x, y$ 满足 $2 x+y=2$ ，则 $9^x+2 \times 3^y$ 的最小值为

$\text{A.}$ $6 \sqrt{2}$ $\text{B.}$ $4 \sqrt{2}$ $\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$ $\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$

已知 $a>1, b>1$ ，且 $\log _2 \sqrt{a}=\log _b 4$ ，则 $a b$ 的最小值为

$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ 8 $\text{C.}$ 16 $\text{D.}$ 32

多选题

已知实数 $a, b>0,2 a+b=4$ ，则下列说法中正确的有

$\text{A.}$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 有最小值 $\frac{3}{2}$ $\text{B.}$ $a^2+b^2$ 有最小值 $\frac{16}{5}$ $\text{C.}$ $4 a+2 b$ 有最小值 8 $\text{D.}$ $\ln a+\ln b$ 有最小值 $\ln 2$

已知 $a>0, b>0$ ，且 $4 a+b=1$ ，则

$\text{A.}$ $16^a+2^b \geq 2 \sqrt{2}$ $\text{B.}$ $\log _{\frac{1}{2}} a+\log _{\frac{1}{2}} b \leq 4$ $\text{C.}$ $\ln b-\mathrm{e}^{-4 a} \leq-1$ $\text{D.}$ $4 a+\sin b^2 \leq 1$

已知 $a>0, b>0$ ，且 $2 a+b=1$ ，若不等式 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b} \geq m$ 恒成立，则 $m$ 的值可以为

$\text{A.}$ 10 $\text{B.}$ 9 $\text{C.}$ 8 $\text{D.}$ 7

填空题

已知正数 $a, b$ 满足 $4 a+9 b=6$ ，则 $a b$ 的最大值为

若 $x>0$ ，则 $x+\frac{4}{x+1}$ 的最小值为

若 $a>0, b>0$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}+b$ 的最小值为

已知 $a>0, b>0$ ，且 $a b=1$ ，则 $\frac{1}{2 a}+\frac{1}{2 b}+\frac{8}{a+b}$ 的最小值为

设 $a>0, b>0$ ，若 $\frac{a}{2}+b=1$ ，则 $\frac{2}{a+1}+\frac{1}{b}$ 的最小值是

已知椭圆 $C$ 的焦点为 $F_1, F_2, P$ 为 $C$ 上一点满足 $\angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{3}$ ，则 $C$ 的离心率取值范围是

解答题

党的二十大报告将＂完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标＂作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一。某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产 $A$ 产品，经过市场调研，生产 $A$ 产品的固定成本为 200 万元，每生产 $x$ 万件，需可变成本 $p(x)$ 万元，当产量不足 50 万件时，$p(x)=\frac{1}{120} x^3+60 x$ ；当产量不小于 50 万件时， $p(x)=101 x+\frac{6400}{x}-1360$ ．每件 $A$ 产品的售价为 100 元，通过市场分析，生产的 $A$ 产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 $\_\_\_\_$万元．

证明题

已知 $a, b, c$ 都是正数，且 $a^3+b^3+c^3=1$ ，证明：
（1）$a b c \leq \frac{1}{3}$ ；
（2）$(a b)^{\frac{3}{2}}+(a c)^{\frac{3}{2}} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

已知 $a^2+4 b^2=4$ ．
（1）求 $a+b$ 的取值范围；
（2）若 $a>0, b>0$ ，求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{2 b} \geq \sqrt{2}$ ．