科数网-参数估计

发布日期 2026/7/6 8:54:37 查看 1 加入组卷查看作者

单选题

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的分布律为

则末知参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$ 为

$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ． $\text{B.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ． $\text{C.}$ $\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^n X_i$ ． $\text{D.}$ $\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ．

设 $0,1,0,1,1$ 是来自 $0-1$ 分布总体 $B(1, p)$ 的样本观察值，则 $p$ 的矩估计为

$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$ ． $\text{B.}$ $\frac{2}{5}$ ． $\text{C.}$ $\frac{3}{5}$ ． $\text{D.}$ $\frac{4}{5}$ ．

已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2, X_1, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值为 $\bar{X}$ ，则可以作出 $\sigma^2$ 的无偏估计量

$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ． $\text{B.}$ $\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ． $\text{C.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ． $\text{D.}$ $\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ．

当 $\sigma^2$ 末知时，正态总体均值 $\mu$ 的置信度为 $1-a$ 的置信区间的长度为

$\text{A.}$ $2 t_a(n)$ ． $\text{B.}$ $\frac{2 S}{\sqrt{n}} t_{\frac{a}{2}}(n-1)$ ． $\text{C.}$ $\frac{S}{\sqrt{n}} t_{\frac{a}{2}}(n-1)$ ． $\text{D.}$ $\frac{S}{\sqrt{n}}$ ．

已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2, X_1, \cdots, X_n$ 为其简单样本，均值为 $\bar{X}$ ，方差为 $S^2$ ．则 $\sigma^2$ 的无偏估计量为 $\_\_\_\_$ ．

$\text{A.}$ $n \bar{X}^2+S^2$ $\text{B.}$ $\frac{1}{2} n \bar{X}^2+\frac{1}{2} S^2$ $\text{C.}$ $\frac{1}{3} n \bar{X}^2+S^2$ $\text{D.}$ $\frac{1}{4} n \bar{X}^2+\frac{1}{4} S^2$

设一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu, \sigma^2$ 均未知，现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 $\bar{x}=20(\mathrm{~cm})$ ，样本标准差 $s=1(\mathrm{~cm})$ 。则 $\mu$ 的置信度为 0.90 的置信区间是（）。

$\text{A.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(16)\right)$ $\text{B.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(16)\right)$ $\text{C.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(15)\right)$ $\text{D.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(15)\right)$

填空题

设由来自正态总体 $X \sim N\left(\mu, 0.9^2\right)$ 容量为 9 的简单随机样本，样本均值 $\bar{X}=5$ ，则未知参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间是 $\_\_\_\_$

设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，样本均值 $\bar{x}=9.5$ ，参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8 ，则 $\mu$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为

由来自正态总体 $x \sim N\left(\mu, 0.9^2\right)$ ，容量为 9 的简单随机样本，若得到样本均值 $\bar{x}=5$ ，则未知参数从的置信度为 0.95 的置信区间为 $\_\_\_\_$ ．$\left(Z_{0.025}=1.96\right)$

解答题

设总体 $X$ 的概率分布为

其中 $\theta\left(0 < \theta < \frac{1}{2}\right)$ 是末知参数，利用总体 $X$ 的如下样本值： $3,1,3,0,3,1,2,3$ ，求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然函数估计值．

设总体 $X$ 的概率分布为

其中 $\theta\left(0 < \theta < \frac{1}{2}\right)$ 是未知参数，给定样本值 $-1,0,0,1,1$ ．求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值．

设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}\lambda^2 x \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
其中参数 $\lambda(\lambda>0)$ 未知，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，
（I）求参数 $\lambda$ 的矩估计量；
（II）求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量．

设总体 X 的分布律为 $P\{X=x\}=(1-p)^{x-1} p, x=1,2, \cdots,\left(\mathrm{X}_1, \mathrm{X}_2, \cdots, X_n\right)$ 是来自总体 $X$ 的样本，试求 $p$ 的矩估计量．

设某种元件的使用寿命 $X$ 的概率密度为

$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-2(x-\theta)}, & x>\theta \\ 0, & x \leqslant \theta\end{cases}
$$

其中 $\theta>0$ 为末知参数，又设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是 $X$ 的一组样本观测值，求参数 $\theta$ 的最大似然估计值．

设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本，当用 $2 \bar{X}-X_1, \bar{X}$ 及 $\frac{1}{2} X_1 +\frac{2}{3} X_2-\frac{1}{6} X_3$ 作为 $\mu$ 的估计时，最有效的是哪个估计量？

设由来自正态总体 $X \sim N\left(\mu, 0.9^2\right)$ 容量为 9 的简单随机样本，得样本均值 $\bar{X}=5$ ，则未知参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间是 $\_\_\_\_$。

两个正态总体 $N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right) 、 N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ 的参数均未知，分别从两个总体中抽取容量为 25和 15 的两个独立样本，测得样本方差分别为 $6.38,5.15$ ，求 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ 的置信区间（ $\alpha=0.10$ ）．

设总体 $X$ 服从几何分布 $P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}, k=1,2, \cdots$ ．又 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自 $X$ 的样本值，则 $p$ 与 $E X$ 的最大似然估计分别为多少？

设来自总体 $X$ 的简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ，总体 $X$ 的概率分布

$$
X \sim\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 2 \\
2 \theta & \theta & 1-3 \theta
\end{array}\right)
$$

其中 $0 < \theta < \frac{1}{3}$ ，求未知参数 $\theta$ 的矩估计量．