科数网-数据抽样与三大分布

发布日期 2026/7/1 20:22:26 查看 39 加入组卷查看作者

单选题

设总体 $X \sim B(m, \theta), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=$

$\text{A.}$ $(m-1) n \theta(1-\theta)$ ． $\text{B.}$ $m(n-1) \theta(1-\theta)$ ． $\text{C.}$ $(m-1)(n-1) \theta(1-\theta)$ ． $\text{D.}$ $m n \theta(1-\theta)$ ．

已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，从总体中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本，其均值为 $\bar{X}$ ，方差为 $S^2$ 。记 $S_k^2=\frac{n}{k} \bar{X}^2+\frac{1}{k} S^2(k=1,2,3,4)$ ，则

$\text{A.}$ $E S_1^2=\sigma^2$ ． $\text{B.}$ $E S_2^2=\sigma^2$ ． $\text{C.}$ $E S_3^2=\sigma^2$ ． $\text{D.}$ $E S_4^2=\sigma^2$ ．

设 $X_1, X_2, X_3$ 为来自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，则统计量 $S=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\left|X_3\right|}$服从的分布为

$\text{A.}$ $F(1,1)$ ． $\text{B.}$ $F(2,1)$ ． $\text{C.}$ $t(1)$ ． $\text{D.}$ $t(2)$ ．

设总体 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^2\right), X_1, \cdots, X_n$ 与 $Y_1, \cdots, Y_n$ 分别来自总体 $X$ 与 $Y$ 容量都为 $n$ 的两个相互独立简单随机样本，样本均值和方差分别为 $\bar{X}$ ， $S_X^2, \bar{Y}, S_Y^2$ 。则

$\text{A.}$ $\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ ． $\text{B.}$ $S_X^2+S_Y^2 \sim \chi^2(2 n-2)$ ． $\text{C.}$ $\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_X^2+S_Y^2}} \sim t(2 n-2)$ ． $\text{D.}$ $\frac{S_X^2}{S_Y^2} \sim F(n-1, n-1)$ ．

设 $X_1, X_2, \cdots, X_8$ 利 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_{10}$ 分别是来自于正态总体 $N(-1,4)$ 和 $N(2,5)$的样本，且相互独立，$S_1^2, S_2^2$ 分别为两样本方差，则服从 $F(7,9)$ 的统计量是

$\text{A.}$ $\frac{2 S_1^2}{5 S_2^2}$ ． $\text{B.}$ $\frac{5 S_1^2}{4 S_2^2}$ ． $\text{C.}$ $\frac{4 S_2^2}{5 S_1^2}$ ． $\text{D.}$ $\frac{5 S_1^2}{2 S_2^2}$ ．

设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(0,1)$ ，则

$\text{A.}$ $X+Y$ 服从正态分布 $\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布 $\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布 $\text{D.}$ $\frac{X^2}{Y^2}$ 服从 $F$ 分布

填空题

已知随机变量 $X_1, \cdots, X_n$ ，相互独立且都服从标准正态分布，$Y_1=X_1, Y_2=X_2- \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则 $Y_1-Y_2$ 服从 $\_\_\_\_$分布，参数为

设 $T \sim t(n)$ ，则 $T^2$ 服从什么分布？

设随机变量 $X$ 服从自由度为 $\left(n_1, n_2\right)$ 的 $F$ 分布，则随机变量 $Y=\frac{1}{X}$ 服从参数为 $\_\_\_\_$的 $\_\_\_\_$分布

设 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 是来自标准正态总体的一组简单随机样本，

$$
Y=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{10} X_i^2+\sum_{i=1}^5 X_{2 i-1} X_{2 i},
$$

则 $E Y=$ $\_\_\_\_$ ；$Y$ 服从 $\_\_\_\_$分布；参数是 $\_\_\_\_$ ．

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(0,3^2\right)$ ，而 $X_1, \cdots, X_9$ 和 $Y_1, \cdots$ ， $Y_9$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，则统计量 $U=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_9}{\sqrt{Y_1^2+Y_2^2+\cdots+Y_9^2}}$ 服从 $\_\_\_\_$分布，参数为 $\_\_\_\_$ ．

解答题

设 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}$ 是来自正态总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的一个简单随机样本，试求下列统计量的分布：
（1）$Y_1=\frac{X_1^2+X_3^2+\cdots+X_{2 n-1}^2}{X_2^2+X_4^2+\cdots+X_{2 n}^2}$ ；
（2）$Y_2=\frac{X_1+X_3+\cdots+X_{2 n-1}}{\sqrt{X_2^2+X_4^2+\cdots+X_{2 n}^2}}$

设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 来自总体 $N(0,1), Y=\left(X_1+X_2+X_3\right)^2+\left(X_4+X_5+X_6\right)^2$ ，试确定常数 $c$ 使得 $c Y$服从 $\chi^2$ 分布．

设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0,2^2\right)$ ，而 $X_1, X_2, \cdots, X_{15}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则随机变量 $Y=\frac{X_1^2+\cdots+X_{10}^2}{2\left(X_{11}^2+\cdots+X_{15}^2\right)}$ 服从 $\_\_\_\_$分布，参数为 $\_\_\_\_$ ．

设随机变量 $X$ 服从自由度为 $(n, n)$ 的 $F$ 分布，已知 $P(X>\alpha)=0.05$ ，则 $P\left(X>\frac{1}{\alpha}\right)=$

在总体 $N\left(52,6.3^2\right)$ 中随机抽一容量为 36 的样本，求样本均值 $\bar{X}$ 落在 50.8 到 53.8之间的概率．

设总体 $X \sim \chi^2(n), X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 是来自 $X$ 的样本，求 $E(\bar{X}), D(\bar{X}), E\left(S^2\right)$ ．