科数网-函数单调性、奇偶性、周期性、对称性

发布日期 2026/6/30 16:38:15 查看 38 加入组卷查看作者

单选题

已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ ，满足 $f(4 x+2)$ 为奇函数且 $f(2 x+1)$ 为偶函数，则下列结论一定正确的是

$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 的周期为 2 $\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 的周期为 3 $\text{C.}$ $f(2020)=0$ $\text{D.}$ $f(2021)=0$

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x \in[0,1]$ 时，$f(x)=a-\cos \frac{\pi}{2} x$ ，若函数 $y=f(x+1)$ 是偶函数，则下列结论不正确的为（）

$\text{A.}$ $a=1$ $\text{B.}$ $f(x)$ 的最小正周期 $T=4$ $\text{C.}$ $y=f(x)-\left|\log _6 x\right|$ 有 4 个零点 $\text{D.}$ $f(2023)>f(2022)$

已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均 R ，若 $f(x)$ 为偶函数，且满足 $f(x+1)-f(1-x)=2 x$ ，则 $f^{\prime}(-1)=\quad(\quad)$

$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ -1 $\text{D.}$ 2

已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 R ，且 $f(x-1)$ 为奇函数，$f^{\prime}(2-x)+f^{\prime}(x)=2, f^{\prime}(-1)=2$ ，则 $\sum_{i=1}^{25} f^{\prime}(2 i-1)=$

$\text{A.}$ 13 $\text{B.}$ 16 $\text{C.}$ 25 $\text{D.}$ 51

已知函数 $f(x), \forall x, y \in \mathbf{R}$ ，有 $f(x+y)=f(x) \cdot f(a-y)+f(y) \cdot f(a-x)$ ，其中 $a \neq 0, f(a) \neq 0$ ，则下列说法一定正确的是

$\text{A.}$ $4 a$ 是 $f(x)$ 的一个周期 $\text{B.}$ $f(x)$ 是奇函数 $\text{C.}$ $f(x)$ 是偶函数 $\text{D.}$ $f(a)=1$

定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 满足 $f(2-x)=f(2+x)$ ，且当 $x \in[0,2]$ 时，
$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^x-1,0 \leq x \leq 1 \\ 2 \sin \frac{\pi}{2} x-1,1 < x \leq 2\end{array}\right.$ ，若关于 $x$ 的方程 $m \ln |x|=f(x)$ 至少有 8 个实数解，则实数 $m$ 的取值范围是
（）

$\text{A.}$ $\left[-\frac{1}{\ln 6}, 0\right) \cup\left(0, \frac{1}{\ln 5}\right]$ $\text{B.}$ $\left[-\frac{1}{\ln 6}, \frac{1}{\ln 5}\right]$ $\text{C.}$ $\left(-\frac{1}{\ln 6}, 0\right) \cup\left(0, \frac{1}{\ln 5}\right)$ $\text{D.}$ $\left(-\frac{1}{\ln 6}, \frac{1}{\ln 5}\right)$

多选题

已知 $f(x)$ 是周期为 4 的奇函数，且当 $0 \leq x \leq 2$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, 1 < x \leq 2\end{array}\right.$ ．设 $F(x)=f(x)+f(x-1)$ ，则

$\text{A.}$ 函数 $y=F(x)$ 是奇函数也是周期函数 $\text{B.}$ 函数 $y=F(x)$ 的最大值为 1 $\text{C.}$ 函数 $y=F(x)$ 在区间 $(2022,2023)$ 上单调递减 $\text{D.}$ 函数 $y=F(x)$ 的图象有对称中心也有对称轴

已知函数 $f(x) 、 g(x)$ 定义域均为 $\mathbf{R}$ ，且 $f(x+4)+f(-x)=2, f(2 x+1)$ 为偶函数，若 $g(x)=-f(2-x)$ ，则下面一定成立的是（）

$\text{A.}$ $f(0)=1$ $\text{B.}$ $g(3)=0$ $\text{C.}$ $f(2023)=f(3)=1$ $\text{D.}$ $g(2024)=g(0)=-1$

已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$ ，且 $f(x)-g(2-x)=-5, g(x)+f(x+2)=3$ ．若 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称，且 $f(3)=-3$ ，则（）

$\text{A.}$ $g(1)=6$ $\text{B.}$ $g(x)$ 的图像关于点 $(0,4)$ 对称 $\text{C.}$ $g(x)$ 是周期函数，且最小正周期为 8 $\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{22} g(k)=90$

已知函数 $f(x)$ 定义域为 R ，且 $f(-x)=-f(x), f(2-x)=f(x), f(1)=1$ ，则

$\text{A.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称 $\text{B.}$ $f(6)=0$ $\text{C.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $(-2,0)$ 中心对称 $\text{D.}$ $f(2 x-1)$ 为偶函数

已知 $f(x)$ 为定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时，有 $f(x+1)=-f(x)$ ，且当 $x \in[0,1)$ 时，$f(x)=\log _2(x+1)$ ，下列命题正确的是

$\text{A.}$ $f(2014)+f(-2015)=0$ $\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 在定义域上是周期为 2 的函数 $\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 的值域为 $(-1,1)$ $\text{D.}$ 直线 $y=x$ 与函数 $f(x)$ 的图象有 2 个交点

已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R} . f(2 x)=f(4-2 x), f(x)+f(-x)=0$ ，当 $x \in[2,4]$ 时， $g^{\prime}(x) < 0, g(1)=1$ ，则（）

$\text{A.}$ $f(x)$ 的图象关于 $x=1$ 对称 $\text{B.}$ $g(x)$ 为偶函数 $\text{C.}$ $g(x)+g(x+4)=0$ $\text{D.}$ 不等式 $g(x) \geq 1$ 的解集为 $\{x \mid-1+8 k \leq x \leq 1+8 k, k \in Z\}$

设函数 $f(x)$ 定义域为 $\mathbf{R}, f(x-1)$ 为奇函数，$f(x+1)$ 为偶函数，当 $x \in[-1,1]$ 时，$f(x)=-x^2+1$ ，则下列结论正确的是（）

$\text{A.}$ $f\left(\frac{7}{2}\right)=-\frac{3}{4}$ $\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(6,8)$ 上是减函数 $\text{C.}$ $f(x+7)$ 为奇函数 $\text{D.}$ 方程 $f(x)+\lg x=0$ 仅有 6 个实数解