第60讲无穷级数单元测试卷

发布日期 2026/6/1 21:55:12 查看 51 加入组卷查看作者

单选题

设 $s(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$ ，其中 $b_n=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^4 \sin n x \mathrm{~d} x$ ，则 $s(-2)=$ $\_\_\_\_$ ．

$\text{A.}$ 16 $\text{B.}$ -16 $\text{C.}$ 8 $\text{D.}$ -8

填空题

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x+1)^{2 n}$ 在 $[-3,4]$ 上收敛，该级数的可能最大的绝对收敛区间是

函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^x, & -1 \leq x < 0 \\ 1, & 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.$ 的傅里叶级数的和函数 $s(x)$ 在点 $x=-4$ 处收敛于（）
在点 $x=5$ 处收敛于（）

要使级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n^{2 p}}\right)$ 收敛，则 $p$ 的范围是

解答题

判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1\right)$ 的敛散性．

判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n^n}{2^n n!}$ 的敛散性，若是收敛的说明是绝对收敛还是条件收敛．

将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-5 x+6}$ 展开为 $x$ 的幂级数，并指出展开式成立的区间．

将函数 $f(x)=1-x^2(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 的和．

$f(x)$ 是周期为 $4 \pi$ 的偶函数，在 $[0,2 \pi]$ 上 $f(x)=2 \pi-x$ ．求该函数的傅里叶展开式．