计算 $I=\oint_L\left(x^3+y+2\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 是以 $A(-1,-1), B(1,-1)$ 以及 $C(0,1)$ 为顶点的三角形曲线．
求柱面 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1$ 含在球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 内的那部分面积．
设 $L$ 是圆柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $z=x+y$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去取逆时针方向，计算曲线积分 $\oint_L x z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+\frac{y^2}{2} \mathrm{~d} z$
设 $L_1: x^2+y^2=1, L_2: x^2+y^2=2, L_3: x^2+2 y^2=2, L_4: 2 x^2+y^2=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线，记 $I_i=\oint_{L_i}\left(y+\frac{y^3}{6}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-\frac{x^3}{3}\right) \mathrm{d} y(i=1,2,3,4)$ ，求 $\max \left\{I_1, I_2, I_3, I_4\right\}$ ．
求积分 $\oint_{\Sigma}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} S, \Sigma$ 是圆柱面 $x^2+y^2=4 ; 0 \leq z \leq 4$ ．
求 $I=\iint_{\Sigma}(2 x+y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 x-y+3 z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x+2 y-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是曲面 $z=x^2+2 y^2-1$ ；位于 $z \leq 1$ 的下侧．
求 $I=\oint_L \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^2+4 y^2}$ ，其中 $L$ 是逆时针方向运行的椭圆 $4 x^2+3 y^2=9$ ．
在 $x>0$ ，求满足 $\phi(\pi)=1$ 的可导函数 $\phi(x)$ ，使得积分 $\int_L[\sin x-\phi(x)] \frac{y}{x} \mathrm{~d} x+\phi(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关，并计算积分 $\int_{(1,0)}^{(\pi, \pi)}[\sin x-\phi(x)] \frac{y}{x} \mathrm{~d} x+\phi(x) \mathrm{d} y$ ．