第51讲同济大学《二重积分与三重积分》同步训练

发布日期 2026/4/30 17:20:33 查看 58 加入组卷查看作者

单选题

设 $\Omega$ 是由 $z=x^2+y^2$ 与平面 $z=1$ 所围的有界闭区域，$\Omega_1$ 是 $\Omega$ 位于 $x \geq 0, y \geq 0$ 的部分，则下列等式中正确的是（）．

$\text{A.}$ $\iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} V=4 \iiint_{\Omega_1} x \mathrm{~d} V$ $\text{B.}$ $\iiint_{\Omega} y \mathrm{~d} V=4 \iiint_{\Omega_1} y \mathrm{~d} V$ $\text{C.}$ $\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} V=4 \iiint_{\Omega_1} z \mathrm{~d} V$ $\text{D.}$ $\iiint_{\Omega} x y \mathrm{~d} V=4 \iiint_{\Omega_1} x y \mathrm{~d} V$

填空题

设 $D$ 是由直线 $y=x, 2 x-3 y+2=0$ 以及 $x$ 轴所围成的有界闭区域，$f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，则积分 $I=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 化成先对 $x$ 再对 $y$ 的二次积分时 $I=$ $\_\_\_\_$ ；化成先对 $y$ 再对 $x$ 的二次积分时 $I=$

$D$ 是由 $x=\sqrt{2 y-y^2}$ 以及 $y=x$ 所围的有界闭区域， $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，则积分 $I=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 化成直角坐标下先对 $x$ 再 $y$ 的积分时 $I=$ $\_\_\_\_$ ；化成极坐标下的二次积分时 $I=$

$\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 4 ; x^2+y^2+z^2 \geq 2 z$ ．则 $I=\iiint_{\Omega}\left(2+x \mathrm{e}^{x^2+y^2+z^2}\right) \mathrm{d} V=$

$\Omega$ 是由 $x^2+y^2=4 ; z=0$ 以及 $z=x^2+y^2$ 所围的立体，若将 $I=\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 分别化成直角坐标以及柱面坐标的三次积分时它们分别为 $I=$ $\_\_\_\_$ ；
以及 $I=$ $\_\_\_\_$ ．

解答题

$I=\iint_D f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)$ 连续，$D=\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}$

$I=\iint_D\left(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}-4 \sin x+5 y+6\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D: x^2+y^2 \leq a^2$

求由 $z=\sqrt{x^2+y^2} ; x^2+y^2=2 x$ ；以及 $z=0$ 所围立体的体积．

计算 $I=\iiint_{\Omega} z\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由 $z=x^2+y^2$ 与 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 所围的立体

求密度为 $\rho=z$ 的半椭球体 $\Omega: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2} \leq 1 ; z \geq 0$ 的质心坐标；

$D$ 是由 $y \leq x^2+y^2 \leq 2 y$ 确定的闭区域，该薄片的面密度为 $\rho(x, y)=\sqrt{x^2+y^2}$ ，计算该薄片关于 $y$ 轴的转动惯量．

$\Omega$ 是体密度为 $\rho(x, y, z)$ 的空间立体，其质量为 $M, l$ 与 $l_0$ 是相距 $d$ 的两条平行直线，其中 $l_0$ 经过 $\Omega$ 的质心．
（1）证明转动惯量 $I_l=I_{l_0}+d^2 M$ ；
（2）$\Omega$ 是由 $x^2+y^2=z^2$ 以及 $z=1$ 所围的立体，体密度为 $\rho=1, l$ 是过点 $(1,1,0)$ 平行于 $z$轴的直线，求转动惯量 $I_l$ ．

计算三重积分 $\iiint_{\Omega}\left|\sqrt{x^2+y^2+z^2}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中闭区域 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 4$

第51讲 同济大学《二重积分与三重积分》同步训练

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