已知 $v(x, y)=-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2} y^2$ ．求函数 $u(x, y)$ 使函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 为解析函数．且 $f(0)=0$
应用留数的相关定理计算
$$
\int_{|z|=2} \frac{d z}{z^6(z-1)(z-3)}
$$
计算积分
1． $\int_{|z|=2} \frac{d z}{z(z-1)}$
2． $\int_c \frac{\cos z}{(z-i)^3} \quad C$ ：绕点 $i$ 一周正向任意简单闭曲线。
求函数 $f(z)=\frac{1}{z(z-i)}$ 在以下各圆环内的罗朗展式。
1． $0 < |z-i| < 1$
2． $1 < |z-i| < +\infty$
应用拉氏变换求方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}+y+z^{\prime}=1 \\ x+y^{\prime}+z=0 \text { 满足 } x(0)=y(0)=z(0)=0 \text { 的解 } \\ y+4 z^{\prime}=0\end{array}\right. y(t)$
就书中内容．函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种